Enunciado

11-92. Considere o modelo de regressão linear simples com E(c)= 0 e V(E) = 2, estando os erros e não correlacionados.

a) Mostre que c o v ⁡ β ^ 0 , β ^ 1 = - x - σ 2 / S w

b) Mostre que c o v ⁡ Y - , β ^ 1 = 0

Passo 1

Faaaaaaala aí gente,

Vamos fazer uma daquelas questões passo a passo?

Vem comigo!!

Suponha que um modelo de regressão linear simples Y = β 0 + β 1 x + ϵ é dado, onde os erros não são correlacionados com média zero e variância constante σ 2 .

Para mostrar (a) e (b), deve-se partir do fato de que o estimador β ^ 1 do parâmetro desconhecido β 1   é dado por:

β ^ 1 = S x y S x x = ∑ i = 1 n   x i - x - Y i - Y - ∑ i = 1 n   x i - x - 2 = ∑ i = 1 n   x i - x - Y i - Y - ∑ i = 1 n   x i - x - S x x = ∑ i = 1 n   x i - x - Y i S x x

devido ao fato de que:

∑ i = 1 n   x i - x - = n x - - n x - = 0

Passo 2

Primeiro, prove primeiro que β ^ 1   é um estimador imparcial de β 1 . Temos o seguinte:

E β ^ 1 = E ∑ i = 1 n   x i - x - Y i S x x = ∑ i = 1 n   x i - x - E Y i S x x = ∑ i = 1 n   x i - x - β 0 + β 1 x i S x x = β 0 ∑ i = 1 n   x i - x - S x x + β 1 ∑ i = 1 n   x i - x - x i S x x = 0 + β 1 S x x S x x = β 1

onde o mesmo fato acima

∑ i = 1 n   x i - x - = n x - - n x - = 0

foi usado e o fato de que

S x x = ∑ i = 1 n   x i - x - 2 = ∑ i = 1 n   x i - x - x i

Isso era para ser visto.

Passo 3

Segundo, encontre a variância do estimador β ^ 1 . Para fazer isso, o fato de que as variáveis ​​aleatórias Y i , i = 1,2 , … , n   são independentes precisa ser usado como segue

V β ^ 1 = V ∑ i = 1 n   x i - x - Y i S x x = 1 S x x 2 ∑ i = 1 n   V x i - x - Y i = 1 S x x 2 ∑ i = 1 n   x i - x - V Y i = 1 S x x 2 S x x σ 2 = σ 2 S x x

A partir de V Y 1 = V Y 2 = … = V Y n = σ 2

Passo 4

Terceiro, prove que o estimador   β ^ 0 é um estimador imparcial do parâmetro β 0 . O estimador pode ser escrito como

β ^ 0 = Y - - β ^ 1 x -

Então, o valor esperado é fácil de ser calculado como

E β ^ 0 = E ( Y - ) - x - E β ^ 1 = β 0 + β 1 x - - β 1 x - = β 0

Então, pelas propriedades da covariância e pela independência C o v ⁡ Y i , Y j =   0  para  i ≠ j ) , temos que:

C o v ⁡ Y - , β ^ 1 = C o v ⁡ ∑ i = 1 n   1 n Y i , ∑ i = 1 n   a i Y i = ∑ i = 1 n   a i n C o v ⁡ Y i , Y i + ∑ i ≠ j   a j n C o v ⁡ Y i , Y j = ∑ i = 1 n   a i n V Y i + ∑ i ≠ j   a j n ⋅ 0 = σ 2 n ∑ i = 1 n   a i = σ 2 n ⋅ 0 = 0

que era para ser visto para a parte (b). Finalmente, a variância do estimador β ^ 1   é

V ( Y - ) = V ( Y - ) + x - 2 V β ^ 1 - 2 x - C o v ⁡ Y - , β ^ 1 = σ 2 n + x - 2 σ 2 S x x - 0 = σ 2 1 n + x - 2 S x x = ∑ i = 1 n   x i 2 n S x x σ 2

Então, para (a), pode-se ver que a concordância dos estimadores é dada por

C o v ⁡ β ^ 0 , β ^ 1 = C o v ⁡ Y - - β ^ 1 x - , β ^ 1 = C o v ⁡ Y - , β ^ 1 - x - C o v ⁡ β ^ 1 , β ^ 1 = 0 - x - V β ^ 1 = - x - S x x σ 2

Resposta

  1. Cov ⁡ β ^ 0 , β ^ 1 = - x - S x x σ 2
  2. C o v ⁡ Y - , β ^ 1 = 0
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