Enunciado

9.41.Supercavitaqaio euma teenologia de propulsiio para veiculos sub-

marinos.que pode aumentar grandemente sua veloeidade.Isso ocorre

acima de aproximadamente 50 metros por segumlo.quando a pressao

cal o suliciente para permitir que a agua se dissocie em vapor de agua.

formando uma bolha de gas atras do veiculo.Quando a bolha de gas

cnvolve completamente o veiculo,supereavitacao ocorre.Oito lestes

foram conduzidos em um prototipo de um veieulo submarino em um

tanque,com uma velocidade media observada dex=102,2mnetros por

segundo.Considere que a velocidade seja normalmente distribuida,com

desvio-padrao conhecido r-4 metros por segundo.

(a)Teste as hipoteseslp=100everssp

(b)Qual eo valor P para o teste do item(a)?

(c)C'alcule a potencia do teste se a velocidade media verdadeira for tao

baixa quanto 95 metros por segundo.

(d)Que tamanho da amostra seria requerido para detectar uma veloci-

dade media verdadeira tito baixa quanto 95 metros por segundo.se

quisessemos que a potencia do teste fosse no minimo 0.85?

te)lixplique como a questao no item(a)poderia ser respondida.cons-

truindo um limite unilateral de confianca para a velocidade media.

Passo 1

E aí galera, vamo lá

Oito ( n = 8 ) testes foram realizados em um modelo em escala de um veículo submarino em uma bacia de reboque com a velocidade média observada x _ = 102.2 metros por segundo. A velocidade é normalmente distribuída com desvio padrão conhecido de σ = 4 metros por segundo.

Passo 2

Letra a:

Precisamos testar

H 0 : μ = 100

Contra

H 1 : μ < 100

usando α = 0.05

O teste de estatística

z 0 = x - - μ σ n = 102.2 - 100 4 8 = 1.56

Agora é

α = 0.05 ⇒ z α = z 0.05 = 1.65

Se - z α ≤ z 0 ≤ z α   então devemos falhar em rejeitar H 0 . Portanto,

1.56 = z 0 < z α = 1.65

E a hipótese H 0 : μ = 3500 é verdadeira.

Passo 3

Letra b:

O valor P para este teste é

V a l o r   P   = Φ z 0 = Φ ( 1.56 ) = 0.940620

onde Φ ( z ) denota a probabilidade à esquerda de z na distribuição normal padrão.

Passo 4

Letra c:

A probabilidade de um erro do tipo II para um teste bilateral na média, com variância conhecida é

β = 1 - Φ z α - δ n σ                           ( 1 )

onde   δ = μ - μ 0

Portanto, da Equação (1) e Tabela III do Apêndice, obtemos

β = 1 - Φ - 1.65 - - 5 8 4 = 1 - Φ ( 1.89 ) = 0.029379

Então, o erro β é

1 - β = 1 - 0.029379 = 0.970621

Passo 5

Letra d:

Tamanho da amostra para um teste bilateral na média, a variância conhecida é

n = z α + z β 2 σ 2 δ 2

Onde, δ = μ - μ 0

Uma média verdadeira é μ = 95 , então δ =   - 5 . Queremos 1 - β = 0.85 . Portanto, z β = z 0.15 = 1.04 e

n = ( 1.65 + 1.04 ) 2 4 2 ( - 5 ) 2 = 4.63

Então, um tamanho de amostra é

n ≈ 5

Passo 6

Letra e:

Um intervalo de confiança de dois lados de 100 ( 1 - α ) % na média é:

μ ≤ x - + z α σ n

Portanto, um IC 95% na média é

μ ≤ 102.2 + 1.65 4 8 μ ≤ 104.53

Portanto, 95 ∈ ( ∞   , 104.53 ] , concluímos que H 0 : μ = 95 é verdadeiro.

Resposta

  1. 1.56 = z 0 < z α = 1.65   então devemos falhar em rejeitar H 0
  2. Valor p  = 0.940620  .
  3. β = 0.970621
  4. n ≈ 5
  5. 95 ∈ ( ∞ , 104.53 ] então concluímos que μ = 95 é verdadeira.
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Dada a amostra:Testar as hipóteses, para nível de 1% (testes bilaterais): μ = 1 4 .