Enunciado

Acredita-se que o empenho de estudantes universitários muda no decorrer do curso. Para investigar essa afirmação, decidiu-se estudar a relação entre o ano de curso e aprovação em disciplinas. Os pesquisadores obtiveram os registros de 186 estudantes universitários, selecionados aleatoriamente, dentre a totalidade de alunos de uma certa instituição de ensino superior. Foram consideradas 3 disciplinas básicas em cada ano. Os resultados obtidos foram resumidos e são apresentados na tabela a seguir.

  1. Quantifique o grau de associação entre aprovação e ano cursado.
  2. Teste a hipótese de que as duas variáveis são independentes, ao nível de significância de 5 % .
  3. Obtenha o nível descritivo.

Passo 1

Bora matar mais uma, seguinte, aqui também vamos realizar o teste de independência para as variáveis:

X = a n o   d o   c u r s o .

E

Y = a p r o v a ç ã o   e m   d i s c i p l i n a s .

Na letra A ele pede o grau de associação entre as duas variáveis, isso nada mais é do que encontrar:

Q 2 = ∑ i = 1 t ∑ j = 1 s o i , j - E i , j 2 E i , j ~ X t - 1 s - 1 2

Que representa a aproximação pela distribuição Qui-quadrado, com t - 1 s - 1 graus de liberdade; onde t   é o número de linhas e s colunas.

Temos ainda, o i j   que representa os valores OBSERVADOS em CADA CÉLULA; e E i j representa os valores ESPERADOS também para cada célula.

Ora, os valores observados nós já temos, são os valores da tabela no enunciado; top show.

Só precisamos encontrar os valores esperados, e fazemos isso da seguinte forma:

E 1,1 = T o t a l   l i n h a   1 T o t a l   c o l u n a   1 T o t a l   G e r a l

E 1,2 = T o t a l   l i n h a   1 T o t a l   c o l u n a   2 T o t a l   G e r a l

E assim por diante até:

E 4,4 = ( T o t a l   l i n h a   4 ) ( T o t a l   c o l u n a   4 ) T o t a l   G e r a l

Um bocado trabalhoso né?! Só vamo!

Passo 2

Começando essa bagaça então! Para facilitar, refiz a tabela com os valores totais:

E 1,1 = ( 28 ) ( 54 ) 186 ≅ 8,12

E assim por diante, até:

E 4,4 = ( 30 ) ( 37 ) 186 ≅ 5,97

Aí vamos organizar todos esses valores esperados numa tabelinha:

Bateu tudo aí?? Então seguimos...

Agora, finalmente podemos calcular a aproximação pela Qui-quadrado:

Q 2 = 6 - 8,12 2 8,12 + 5 - 7,22 2 7,22 + … + 6 - 7,58 2 7,58 + 2 - 5,97 2 5,97 ≅ 23,45

É justamente esse o grau de associação entre as variáveis.

Passo 3

Top! Tamo quase! Agora precisamos realizar o teste propriamente dito, temos:

H 0 : X   e   Y   s ã o   i n d e p e n d e n t e s         c o n t r a         H 1 : X   e   Y   s ã o   d e p e n d e n t e s

E precisamos ver se aquele valor que encontramos q o b s = 23,45 está dentro da região crítica ou não.

Nossa região crítica será:

R C = q o b s ∈ R q o b s ≥ q α }  

Como nosso α = 5 % , precisamos buscar na tabela de distribuição Qui-quadrado, um valor q 0,05 tal que:

P X 2 ≥ q 0,05 = 0,05 = α

Para tanto, basta irmos justamente na coluna que representa 5% e buscarmos a intersecção com a linha de 4 - 1 4 - 1 = 9 graus de liberdade:

Portanto encontramos q 0,05 = 16,919 , então nossa RC assume a seguinte forma:

R C = q o b s ≥ 16,919

Ou seja, como q o b s = 23,45 , portanto ele está dentro da região crítica então devemos rejeitar a hipótese nula.

Por último, o exercício pede o nível descritivo, se você se lembrar ele nada mais é do que a chance de obtermos um valor tão mais extremo quanto o observado; em outras palavras:

α * = P X 2 ≥ q o b s = P X 2 ≥ 23,45

Buscando por esse valor na tabela, novamente na linha de 9 graus de liberdade:

Perceba que 23,45 está ali no meiozinho daqueles valores destacados; isso significa que não bastasse todo o esforço até chegar aqui, vamos ter que fazer uma interpolação.

Mas calma que é rapidinho, olha só:

1 % - 0,2 % 21,666 - 26,056 = 1 % - p 21,666 - 23,45

Só isolar p :

p ≅ 0,67 % = α *

Sendo esse o nosso nível descritivo.

Resposta

  1. Q 2 = 23,45 .
  2. Existem evidências de que as variáveis sejam dependentes.
  3. α * ≅ 0,67 % .
Ver Outros Exercícios desse livro

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