Enunciado

Usando os dados abaixo, verifique descritivamente se existe dependência entre o número de filhos e o rendimento familiar (em reais). Em seguida, teste tal fato considerando um nível de significância de 1 % . (Não esqueça de formular as hipóteses).

Passo 1

Dessa vez o teste a ser realizado é chamado de Teste de independência, por motivos óbvios; queremos testar se duas variáveis são ou não independentes; sendo elas:

X = n ú m e r o   d e   f i l h o s .

E

Y = r e n d a   f a m i l i a r .

Ou seja, teremos as seguinte teses:

H 0 : X   e   Y   s ã o   i n d e p e n d e n t e s         c o n t r a           H 1 : X   e   Y   d e p e n d e n t e s

Para isso, vamos usar mais uma vez a aproximação pela distribuição Qui-quadrado:

Q 2 = ∑ i = 1 t ∑ j = 1 s o i , j - E i , j 2 E i , j ~ X t - 1 s - 1 2

Onde t   e s representam as linhas e colunas respectivamente com t - 1 ( s - 1 ) graus de liberdade e o i , j é exatamente o valor dado em cada célula. Chatinho né? Vamos devagar.

O E i , j representa um valor esperado para cada CÉLULA, ou seja:

E 1,1 = T o t a l   l i n h a   1 T o t a l   c o l u n a   1 T o t a l   G e r a l

E 1,2 = T o t a l   l i n h a   1 T o t a l   c o l u n a   2 T o t a l   G e r a l

E assim por diante, fazendo um arranjo das linhas e colunas.

Passo 2

Bora fazer isso então:

E 1,1 = 135 48 257 = 25,21

E assim por diante até:

E 3,4 = 40 61 257 = 9,49

Vou colocar todos os valores esperados numa tabelinha:

Certo, agora o próximo passo, é estabelecer uma região crítica utilizando a distribuição Qui-quadrado.

Passo 3

Vamos a isso então:

R C = q 0 ∈ R   q 0 ≥ q α }  

O enunciado nos forneceu α = 1 % , então vamos buscar na tabela um valor q c tal que:

P X 2 ≥ q c = α = 0,01

Para tanto, basta irmos na coluna de 1% e na linha de:

3 - 1 ⏟ l i n h a s 4 - 1 ⏟ c o l u n a s = 6   g r a u s   d e   l i b e r d a d e .

Portanto nossa Rc será da seguinte forma:

R C = q 0 ≥ 16,812

Agora, só nos resta realizar o teste:

q 0 = 15 - 25,21 2 25,21 + 27 - 40,45 2 40,45 + … + 10 - 9,49 2 9,49 ≅ 41,40

Portanto, q 0 ∈ R C então devemos rejeitar H 0 .

Resposta

Concluimos que existem evidencias de que a renda familiar seja dependente do número de filhos.

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