Enunciado

As alturas de 10.000 alunos de um colégio têm distribuição aproximadamente normal, com média 170 cm e desvio padrão 5 cm.(a) Qual o número esperado de alunos com altura superior a 165 cm?(b) Qual o intervalo simétrico em torno da média que conterá 75% das alturas dos alunos?

Passo 1

Para responder à alternativa (a) devemos entender que a proporção de alunos com altura superior a 165cm é dada por

P X   >   165

Logo,

P Z > X - μ σ = P ( Z   > 165   -   170 5 )   =   P ( Z   > - 1 )   =   0,8413

Ou seja, 84,13% serão maiores que 165cm, um total de 8413 alunos.

Passo 2

Para responder à alternativa (b) deve-se calcular o intervalo dentro de uma curva normal que representará 75% das alturas dos alunos.

Logo, queremos saber:

P h 1 < X < h 2 = 0,75

Transformando X em Z,

P h 1 < X < h 2 = P h 1 - 170 5 < Z < h 2 - 170 5

Concorda comigo que esse intervalo será um intervalo simétrico?

Portanto, podemos escrever que:

P - h < Z < h = 0,75

Aonde - h será o nosso h 1 - 170 5 e h será o nosso h 2 - 170 5

Então, vamos encontrar esse h , para isso, faremos:

P - h < Z < h = P Z < h - P Z < - h

= ϕ h - 1 - ϕ h

= 2 ϕ h - 1

E queremos que esse cara aí tenha o valor de 75 % , logo:

2 ϕ h - 1 = 0,75

2 ϕ h = 0,75 + 1

ϕ h = 1,75 2

ϕ h = 0,875

Olhando para a tabela normal, iremos encontrar que o valor que possui a probabilidade 0,875 é de aproximadamente:

h = 1,15 → ϕ 1,15 ≅ 0,875

Ou seja,

h 1 - 170 5 = - h

h 1 - 170 5 = - 1,1503 → h 1 = 164,25

E

h 2 - 170 5 = h

h 2 - 170 5 = 1,1503 → h 2 = 175,75

Logo, o intervalo que responde à alternativa é:

164,25 < X < 175,75

Resposta

a 84,13 %   s e r ã o   m a i o r e s   q u e   165 c m ,   u m   t o t a l   d e   8413   a l u n o s .

b 164,25 < X < 175,75

Exercícios de Livros Relacionados

Uma corrente elétrica oscilante pode ser considerada como uma variável aleatória uniformemente distribuída sobre o intervalo (9,11). Se essa corrente passar em um resistor de 2 ohm...
A resistência à compressão de amostras de cimento pode ser modelada por uma distribuição normal, com uma média de 6000 quilogramas por centímetro quadrado e um desvio-padrão de 100...
Um combustível para foguetes deve conter uma certa percentagem X de um componente especial. As especificações exigem que X esteja entre 30 e 35 por cento. O fabricante obterá um lu...
Sabe-se que os erros, em certo dispositivo para medir comprimentos, são normalmente distribuídos com valor esperado zero e desvio-padrão 1 unidade. Qual é a probabilidade de que o ...
Use a Tabela III do Apêndice para determinar as seguintes probabilidades para a variável aleatória normal padrão Z : P ( Z < 1.32 ) P ( Z < 3.0 ) P ( Z > 1.45 ) P ( Z >...
Use a Tabela III do Apêndice para determinar as seguintes probabilidades para a variável aleatória normal padrão Z : P ( - 1 < Z < 1 ) P ( - 2 < Z < 2 ) P ( - 3 < Z ...
Suponha que Z   tenha uma distribuição normal padrão. Use a Tabela III do Apêndice para determinar o valor de z que resolve cada um dos seguintes itens: P ( - z < Z < z ) = 0...
Suponha que X seja distribuída normalmente, com uma média de 5 e um desvio-padrão de 4. Determine o seguinte: P ( X < 11 ) P ( X > 0 ) P ( 3 < X < 7 ) P ( - 2 < X &l...
Suponha que X seja distribuída normalmente, com uma média de 5 e um desvio-padrão de 4. Determine o valor de x que resolve cada um dos seguintes itens: P ( X > x ) = 0.5 P ( X &...
O volume de enchimento de uma máquina automática de enchimento usada para encher latas de bebidas gasosas é distribuído normalmente, com uma média de 12.4 onças fluidas e um desvio...
O diâmetro do ponto produzido por uma impressora é normalmente distribuído, com uma média de 0.002 polegada e um desvio-padrão de 0.0004 polegada.Qual é a probabilidade do diâmetro...
O tempo de recarga, sob condições normais, de uma bateria de um laptop é distribuído normalmente, com média de 260 minutos e um desvio-padrão de 50 minutos.Qual é a probabilidade d...