Enunciado

Uma amostra é composta pelos seguintes elementos:

Pede-se construir o intervalo de confiança para:

  1. a média e para o desvio padrão reais, ao nível de confiança de 98%.

Passo 1

Oi galerinha, estou animada pra fazer este exercício com vocês. Vem comigo!

Vamos relembrar que o intervalo de confiança é um intervalo em torno da estimativa por ponto, de modo que esse intervalo tenha uma probabilidade conhecida (que é designada por 1 - α ) de conter o verdadeiro valor do parâmetro. O valor da probabilidade ( 1 - α ), que usualmente assume os valores 90%, 95%, 98%, etc., é denominado nível de confiança e o valor α é chamado nível de significância.

Para o intervalo de confiança da média populacional ( μ ), quando a variância populacional ( σ 2 ) é desconhecida, temos o seguinte:

X - - t α / 2 ∙ S n ≤ μ ≤ X - + t α / 2 ∙ S n

Onde a variável t possui ( n - 1 ) graus de liberdade.

Já para o intervalo de confiança para a variância ( σ 2 ) de uma população normal, temos o seguinte:

S 2 ∙ ( n - 1 ) χ s u p 2 ≤ σ 2 ≤ S 2 ∙ ( n - 1 ) χ i n f 2

Onde χ i n f 2 = χ 1 2 = χ ( 1 - α / 2 ) 2 χ s u p 2 = χ 2 2 = χ α / 2 2               , ambos para ϕ = n - 1 graus de liberdade.

Então vamos lá, primeiramente precisamos calcular a média e o desvio padrão amostral, para isso, vamos utilizar as seguintes equações:

Então:

X - = 17 4 16 = 1 0 , 875

S = 103,75 16 - 1 = 2 , 6 3

Passo 2

Agora iremos calcular o intervalo de confiança para a média. Para um nível de confiança de 98% com ϕ = 16 - 1 = 15 :

t = 2 , 6 0 2

Sendo assim, para o nível de confiança de 98%:

μ = 1 0,875 ± 2 , 6 0 2 ∙ 2,63 16

9 , 1 6 ≤ μ ≤ 1 2 , 59

Passo 3

Para descobrirmos o intervalo de confiança do desvio padrão, precisamos:

  • ϕ = 15 ;
  • α / 2 = 0,0 1 limite superior;
  • 1 - α / 2 = 0,9 9 limite inferior.

χ i n f 2 = 5,229

χ s u p 2 = 30,578

Sendo assim, para o nível de confiança de 98%:

2 , 6 3 2 ∙ ( 16 - 1 ) 30,578 ≤ σ ≤ 2,63 2 ∙ ( 16 - 1 ) 5,229

1 , 8 4 ≤ σ ≤ 4 , 45

Tchau galerinha! Te espero em mais exercícios.

Resposta

  • 9 , 1 6 ≤ μ ≤ 1 2,59 ;
  • 1 , 8 4 ≤ σ ≤ 4,45 .

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