Enunciado
Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 7.5 - Ex. 26
A análise de ocorrência de um mineral numa região é uma variável aleatória com média e variância . A unidade de medida é porcentagem de mineral por unidade de volume. Para uma amostra de tamanho :
a) Que dizer da distribuição de ?
b) Que tamanho deveria ter a amostra para que ?
Passo 1
Bom, não sabemos quel é o tipo de distribuição para a ocorrência do mineral, mas sabemos que se trata de uma variável aleatória com média e variância .
Sabemos também que
para uma amostra de tamanho . Foi explicado no capítulo que
Com isso, sabemos que a média de é e sua variância é
Portanto, não sabemos, à priori, qual a distribuição de probabilidades para , mas sabemos que sua média é e sua variância é . Sabemos também que, independentemente da distribuição de cada , conforme o número de termos da amostra for crescendo, a distribuição de se aproxima de uma distribuição normal, mas talvez com isso ainda não seja uma aproximação tão boa...
Passo 2
Agora vamos para o item (b). Conforme o número de termos das amostra cresce, a distribuição de se aproxima de uma distribuição normal:
Com isso, se , temos que
Assim,
Ou ainda,
Portanto,
onde
Passo 3
Para simplificar um pouquinhos as coisas, vamos escrever:
Como a distribuição é normal para suficientemente grande, ela é simétrica, de modo que
Portanto,
Agora você deve procurar o valor de que corresponde a essa probabilidade no apêndice do final do livro. Cuidado que lá ele usa a notação como , não como . Fazendo isso, achamos
Com isso, temos que
Assim,
Arredondando para baixo, devemos ter elementos na amostra!
Resposta
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