Enunciado

A análise de ocorrência de um mineral numa região é uma variável aleatória com média 4 e variância 3 / 2 . A unidade de medida é porcentagem de mineral por unidade de volume. Para uma amostra de tamanho 20 :

a) Que dizer da distribuição de X - ?

b) Que tamanho deveria ter a amostra para que P 3,5 < X - < 4,5 = 0,95 ?

Passo 1

Bom, não sabemos quel é o tipo de distribuição para a ocorrência do mineral, mas sabemos que se trata de uma variável aleatória com média μ = 4 e variância σ 2 = 3 / 2 .

Sabemos também que

X - = X 1 + X 2 + … + X 20 20 ,

para uma amostra X 1 ,   X 2 , … ,   X 20 de tamanho n = 20 . Foi explicado no capítulo que

E X - = E X i = μ

V a r X - = V a r X i n = σ 2 n

Com isso, sabemos que a média de X - é μ X - = 4 e sua variância é

V a r X - = 3 / 2 20 = V a r X - = 3 40

Portanto, não sabemos, à priori, qual a distribuição de probabilidades para X - , mas sabemos que sua média é 4 e sua variância é 3 / 40 . Sabemos também que, independentemente da distribuição de cada X i , conforme o número de termos n da amostra for crescendo, a distribuição de X - se aproxima de uma distribuição normal, mas talvez com n = 20 isso ainda não seja uma aproximação tão boa...

Passo 2

Agora vamos para o item (b). Conforme o número de termos das amostra cresce, a distribuição de X - se aproxima de uma distribuição normal:

n → ∞ :                   X - - μ σ / n → Z   ~   N 0 ,   1

Com isso, se 3,5 < X - < 4,5 , temos que

3,5 - 4 < X - - μ < 4,5 - 4 ⇒ - 0,5 < X - - μ < 0,5

Assim,

- 0,5 3 / 2 n < X - - μ σ / n < 0,5 3 / 2 n

Ou ainda,

- n 6 < X - - μ σ / n < n 6

Portanto,

P 3,5 < X - < 4,5 = 0,95 ⇒ P - n 6 < Z < n 6 = 0,95 ,

onde

Z = X - - μ σ / n

Passo 3

Para simplificar um pouquinhos as coisas, vamos escrever:

P - a < Z < a = 0,95

Como a distribuição é normal para n suficientemente grande, ela é simétrica, de modo que

P - a < Z < a = 2 P 0 < Z < a = 0,95

Portanto,

P 0 < Z < a = 0,95 2 = 0,475

Agora você deve procurar o valor de a que corresponde a essa probabilidade no apêndice do final do livro. Cuidado que lá ele usa a notação como z C , não como a . Fazendo isso, achamos

a = 1,96

Com isso, temos que

n 6 = 1,96 ⇒ n 6 = 3,8416

Assim,

n = 6 ⋅ 3,8416 = 23,04

Arredondando para baixo, devemos ter n = 23 elementos na amostra!

Resposta

n = 20 :             E X - = 4           e         V a r X - = 3 40

n = 23

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