Lista de Exercícios Resolvidos de Intervalo de Confiança para Proporção

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Um estudo com 420.095 dinamarqueses usuários de telefones celulares descobriu que 135 deles tinham desenvolvido câncer no cérebro. Uma pesquisa anterior a essa, diz que a taxa de incidência de tipo de câncer era de 0,034% para pessoas que não usavam telefones celulares.

  1. Construa um intervalo de 95% de confiança, não-conservativo, para a proporção de usuários de telefone celular que desenvolvem câncer no cérebro.

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Um grande banco deseja inferir sobre a proporção de clientes que estão satisfeitos com seu serviço. Para isto, entrevistou 25 clientes e obteve os resultados mostrados na seguinte lista:

SSISSISSSSSIISSSSSSISSSSS

em que S representa “cliente satisfeito” e I representa “cliente insatisfeito”.

  1. Construa um intervalo de confiança não conservativo ao nível de 96% para a proporção de clientes satisfeitos. O intervalo obtido contém a proporção de clientes satisfeitos?
  2. Qual deve ser o tamanho da amostra para que a amplitude do intervalo de confiança conservativo, ao nível de confiança de 98%, seja menor ou igual a 0,04?

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Um fabricante de calculadoras eletrônicas está interessado em estimar a fração de unidades defeituosas produzidas. Uma amostra aleatória de 800 calculadoras contém 10 defeitos. Calcule um intervalo de confiança de 99% para a fração defeituosa.

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Os candidatos A e B disputam as eleições para a prefeitura da cidade de Bayesville. Em uma pesquisa de intenção de voto, uma amostra aleatória de tamanho 400 foi retirada da população e observou-se que a proporção dos eleitores que votariam em A era de 0,55 e a proporção dos eleitores que votariam em B era de 0,30, sendo o restante brancos, nulos e indecisos.

  1. Determine intervalos de 90% de confiança conservativos para a proporção de eleitores na população que votariam em A e para a proporção de eleitores na população que votariam em B, cada um deles com 3 casas decimais;
  2. Usando novamente a opção conservativa, qual deve ser o tamanho da amostra para que a margem de erro para cima ou para baixo da proporção amostral dos eleitores que votariam em A e da proporção amostral dos eleitores que votariam em B seja de 0,02 (ou de 2 pontos percentuais, usando a linguagem dos noticiários jornalísticos) com 95% de confiança?

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Pesquisadores desejam estudar o tempo gasto por engenheiros para executarem determinada tarefa. Para isto, foram selecionados aleatoriamente 64 engenheiros. Observou-se, nessa amostra, que a soma do tempo gasto por eles foi de 192 horas enquanto a soma dos quadrados dos tempos foi de 828 horas².

Sabendo-se que, dentre os 64 engenheiros selecionados, 16 eram recém formados, determine o intervalo de 99% de confiança (conservativo) para a proporção populacional de engenheiros recém formados.

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Uma organização universitária deseja estimar a porcentagem de estudantes que são favoráveis a criação de um novo estatuto. Ela seleciona uma amostra de 200 estudantes, aleatoriamente, e constata que 120 são favoráveis a este novo estatuto.

(a) Construir um intervalo de confiança para p, a verdadeira porcentagem de estudantes favoráveis na população, com nível de confiança de 98%.

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3. Em uma eleição de 2º turno um instituto de opinião pretende estimar, numa pesquisa de boca de urna, a proporção p de eleitores que votaram no candidato do partido liberal. Responda às seguintes questões.

(a) Determine o número de eleitores que devem ser consultados de modo que a proporção p possa ser estimada com margem de erro de 0,01 e coeficiente de confiança de 95%?

(b) Se as pesquisas de opinião do dia anterior indicam claramente que o candidato deverá ter entre 25% e 40% dos votos, você conseguiria reduzir o tamanho amostral calculado em (a) com essa informação? Justifique.

(c) Suponha que o instituto tenha consultado 1200 eleitores, dos quais 564 afirmam terem votado no candidato do partido liberal. Obtenha um intervalo de confiança não conservativo com coeficiente de confiança de 95% para a proporção p .

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Suponha que um professor do curso de engenharia, com objetivo de estudar o tempo, em anos, que os alunos levam para concluírem o curso, selecionou aleatoriamente 144 ex-alunos. Nessa amostra observou-se que a soma dos tempo gastos até a conclusão do curso foi de 750 anos e que a variância amostral teve valor 4 anos². Resolva os itens abaixo:

c) Sabendo que desses 144 ex-alunos, 36 conseguiram se formar no prazo ideal, determine o intervalo de 93 % de confiança, utilizando a abordagem conservadora, para a proporção de alunos do curso de engenharia que conseguem se formar no prazo considerado ideal.

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Uma associação de estudantes universitários de uma grande universidade deseja saber a opinião dos alunos sobre a proposta da reitoria a respeito do preço do bandejão. Para isso, seleciona aleatoriamente uma amostra de 200 estudantes, dos quais 120 são favoráveis à proposta da reitoria.

  1. Construa um intervalo de confiança para a verdadeira proporção de alunos favoráveis à política da reitoria, ao nível de significância de 2 % .
  2. Qual deverá ser o tamanho da amostra para se ter um erro de no máximo 5 % , i.e. o comprimento do intervalo em cada lado do estimador da proporção ser inferior a 5 % , ao mesmo nível de significância do item (a)?

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Uma amostra de 100 eleitores escolhidos aleatoriamente por todos os eleitores de um determinado distrito indicou que 55 % deles eram a favor de um determinado candidato. Encontre para o nível de confiança de 99,66 % , o intervalo de confiança para a proporção de todos os eleitores a favor deste candidato.

Através do teorema do limite central, detalhe todos os passos para a construção do IC.

Observação: cálculos com 4 casas decimais.

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Uma associação de estudantes universitários de uma grande universidade deseja saber a opinião dos alunos sobre a proposta da reitoria a respeito do preço do bandejão. Para isso, selecionou-se aleatoriamente uma amostra de 200 estudantes, dos quais se verificou que 140 estudantes são favoráveis à proposta da reitoria.

a) Determine o intervalo de confiança para a verdadeira proporção de alunos favoráveis à política da reitoria, ao nível de significância de 2%.

b) Qual deverá ser o tamanho da amostra para a verdadeira proporção de alunos favoráveis à política da reitoria com um erro máximo de 3%, i.e. para que o raio do intervalo de confiança seja inferior a 3%, ao mesmo nível de significância do item (a).

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Uma associação de estudantes universitários de uma grande universidade deseja saber a opinião dos alunos sobre a proposta da reitoria a respeito do preço do bandejão. Para isso, selecionou-se aleatoriamente uma amostra de 200 estudantes, dos quais se verificou que 120 são favoráveis à proposta da reitoria.

  1. Determine o intervalo de confiança para a verdadeira proporção de alunos favoráveis à política da reitoria, ao nível de significância de 3%.
  2. Qual deverá ser o tamanho da amostra com um erro máximo de 4%, i.e. para que o raio do intervalo de confiança seja inferior a 4%, ao mesmo nível de significância do item a)?

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Examinadas 500 peças de uma grande produção encontrou-se 260 peças sem defeitos. No nível de confiança de 90% construir um intervalo de confiança para a verdadeira proporção de peças defeituosas.

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Uma determinada empresa de telefonia pretende estimar a proporção p de clientes satisfeitos com o plano básico de telefonia móvel oferecido. Responda às seguintes questões.

(a) Suponha que a empresa tenha realizado uma pesquisa de satisfação com 2000 clientes, dos quais 800 afirmam estar satisfeitos com o plano básico de telefonia. Obtenha um intervalo de confiança não conservativo com coeficiente de confiança de 96% para a proporção p .

(b) Apenas para raciocinar, admita que a empresa tenha realizado 80 pesquisas de satisfação sobre este mesmo assunto. Se para cada pesquisa um intervalo de confiança de 95% para a proporção p for construído, quantos desses intervalos se espera que não contenham a proporção p ?

(c) Encontre o menor número de clientes que devem compor uma pesquisa de satisfação de modo que a proporção estimada p ^ difira de p em menos de 2% com probabilidade de 95%?

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Os candidatos A e B disputam as eleições para a prefeitura da cidade de Bayesville. Em uma pesquisa de intenção de voto, uma amostra aleatória de tamanho 400 foi retirada da população e observou-se que a proporção dos eleitores que votariam em A era de 0,55 e a proporção dos eleitores que votariam em B era de 0,30, sendo o restante brancos, nulos e indecisos.

  1. Determine intervalos de 90% de confiança conservativos para a proporção de eleitores na população que votariam em A e para a proporção de eleitores na população que votariam em B, cada um deles com 3 casas decimais;
  2. Usando novamente a opção conservativa, qual deve ser o tamanho da amostra para que a margem de erro para cima ou para baixo da proporção amostral dos eleitores que votariam em A e da proporção amostral dos eleitores que votariam em B seja de 0,02 (ou de 2 pontos percentuais, usando a linguagem dos noticiários jornalísticos) com 95% de confiança?

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Um determinado Instituto de pesquisa divulgou uma semana antes da eleição o seguinte resultado: a proporção dos eleitores que votam no candidato " A " é de 56,5 % com uma margem de erro de ± 3,0 (pontos percentuais), isso significa que o intervalo de confiança é I C = 53,5 %   ; 59,5 % . Também foi divulgado que o número de pessoas ouvidas foi de 1800 pessoas.

Deduza o grau de confiança 1 - α empregado nesta pesquisa, utilizando o Teorema Central do Limite.

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Em uma linha de produção, o engenheiro responsável pelo controle de qualidade deseja estimar a proporção p de itens defeituosos produzidos. Para isso, seleciona aleatoriamente uma amostra de 50 itens, observando 4 itens defeituosos. Historicamente, mesmo em ocasiões de descontrole na linha de produção, a proporção de itens defeituosos jamais superou 15% e o engenheiro acredita que esse limiar continue a valer.

(a) Construa um intervalo não conservativo ao nível de confiança 95% para a proporção de itens defeituosos na linha de produção.

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