Enunciado

O tempo de reação de uma pessoa a certa droga é considerado uma variável aleatória com média 5 minutos e desvio padrão 3 minutos. Esse tempo foi medido em uma amostra de 80 pessoas escolhidas, sem reposição, na cidade de São Paulo. Pergunta-se a probabilidade de:

a) O tempo médio amostral ser inferior a 5,5 ?

b) O tempo médio na amostra não difereir da verdadeira média por mais de 0,4 ?

Passo 1

Vamos supor que o tempo de reação de cada pessoa na amostra é X i , com i = 1 ,   2 ,   … ,   80 . Sabemos que a média de cada uma dessas variáveis aleatórias é μ = 5 e o desvio padrão é σ = 3 . Vamos considerar o tempo médio amostral:

X - = X 1 + X 2 + … + X 80 80

Sabemos que

E X - = E X i = μ = 5

V a r X - = V a r X i n = σ 2 n = 3 2 80 = 9 80

Portanto,

μ X - = 5               e           σ X - = σ n = V a r X - = 3 80 = 3 4 5

Passo 2

Conforme o número de termos das amostra cresce, a distribuição de X - se aproxima de uma distribuição normal:

n → ∞ :                   X - - μ σ / n = X - - μ X - σ X - → Z   ~   N 0 ,   1

No item (a), queremos a probabilidade para que X - < 5,5 :

X - - μ < 5,5 - 5 ⇒ X - - μ < 0,5

Assim,

X - - μ σ / n < 0,5 3 / 4 5 = 2 5 3 = 1,4907

Portanto,

P X - < 5,5 = P ( Z < 1,4907 )

Bom, mas sabemos que

P Z < 1,4907 = 0,5 + P 0 < Z < 1,4907 ,

pois a probabilidade de Z ser negativo é 0,5 . Olhando na tabela do apêndice A no final do livro, achamos que

P 0 < Z < 1,4907 = 0,4319

Assim,

P Z < 1,4907 = 0,5 + 0,4319 = 0,9319

Portanto,

P X - < 5,5 = 0,9119

Passo 3

Agora vamos para o item (b)! Sabemos que a verdadeira média é

E X - = 5

Para que o valor médio da amostra não difira da verdadeira média por mais de 0,4 , devemos ter

4,6 < X - < 5,4

Assim,

4,6 - 5 < X - - μ < 5,4 - 4 ⇒ - 0,4 < X - - μ < 0,4

Logo,

- 0,4 3 / 4 5 < X - - μ σ / n < 0,4 3 / 4 5

Com isso,

- 1,19 < Z < 1,19

Assim,

P 4,6 < X - < 5,4 = P - 1,19 < Z < 1,19

Pela simetria da distribuição:

P - 1,19 < Z < 1,19 = 2   P ( 0 < Z < 1,19 )

Olhando a tabela no final do livro:

P 0 < Z < 1,19 = 0,3830

Assim,

P 4,6 < X - < 5,4 = 2 ⋅ 0,3830

Portanto,

P 4,6 < X - < 5,4 = 0,766

Resposta

P X - < 5,5 = 0,9119

P 4,6 < X - < 5,4 = 0,766

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