Enunciado

No artigo da publicação Chemical Engineering Progress, de novembro de 1990, um estudo discutiu a porcentagem de pureza do oxigênio de certo fornecedor. Assuma que a média era 99,61, com desvio-padrão de 0,08. Assuma que a distribuição da porcentagem de pureza era aproximadamente normal.

(a) Qual porcentagem dos valores de pureza você esperaria encontrar entre 99,5 e 99,7?

(b) Qual valor de pureza você esperaria exceder exatamente 5% da população?

Passo 1

Fala galera, beleza? Vamos resolver mais um exercício! Vem comigo!

Primeiro vamos enunciar alguns dados do exercício.

μ = 99,61   e   σ = 0,08

Além disso definimos a variável aleatória X como a porcentagem de pureza de oxigênio.

Show! Com isso em mente vamos resolver os itens a) e b).

Passo 2

Resolvendo o item a)

Nesse item, queremos P 99,5 < X < 99,7

Para resolver esse item, precisaremos fazer uma relação entre X   e   Z .

Assim:

Z = X - μ σ

Para X = 99,5 , temos:

Z = 99,5 - 99,61 0,08 = - 1,375

Para X = 99,7 , temos:

Z = 99,7 - 99,61 0,08 = 1,125

Então calcular P 99,5 < X < 99,7 é equivalente a calcular P ( - 1,375 < Z < 1,125 )

Logo, vamos calcular P ( - 1,375 < Z < 1,125 ) que é bem mais fácil.

P - 1,375 < Z < 1,125 = P Z < 1,125 - P Z < - 1,375 = 0,8697 - 0,08455 = 0,7852

Só fizemos uma substituição pelos valores tabelados.

Logo,

P 99,5 < X < 99,7 = P - 1,375 < Z < 1,125 = 0,7852

Passo 3

Por último, vamos calcular o item b)

P Z > k = 0,05

Logo P Z < k = 1 - P Z > k = 1 - 0,05 = 0,95

Vamos encontrar o k para satisfazer essa igualdade.

Pela tabela, temos que k = 1,645

Basta fazer uma média ponderada entre os valores intermediários.

Show! Agora temos quase tudo pronto

Agora vamos relacionar X   e   Z .

Z = X - μ σ

Para Z = k = 1,645 , temos:

X = Z σ + μ = 1,645 0,08 + 99,61 = 99,74

Resposta

a) P 99,5 < X < 99,7 = P - 1,375 < Z < 1,125 = 0,7852

b) X = Z σ + μ = 99,74

Exercícios de Livros Relacionados

Se X tiver distribuição uniforme com parâmetros α e β, mostre que:
Dada a v.a. X, uniforme em (5, 10), calcule as probabilidades abaixo, usando a tabela doproblema anterior.P(8
Dada a v.a. X, uniforme em (5, 10), calcule as probabilidades abaixo, usando a tabela doproblema anterior.P(|X – 7,5|2)
Suponha que X tenha distribuição uniforme em [–a, 3a]. Determine a média e a variância de X.
Determine as médias das v.a. X, Y e Z:X uniforme em (1, 3), Y = 3X + 4, Z = eX.