Enunciado

Um artigo na revista ASCE Journal of Energy Engineering ," Overview of Reservoir Release Improvements at 20 TVA Dams "Visão Global de Melhorias do Despejo de Reservatórios em 20 Barragens no Vale do Tennessee . Vol . 125 abril 1999. pp . 1-17 ) apresenta a seguir dados para concentrações de oxigênio dissolvido em correntes em 20 barragens do sistema do Vale do Tennessee . As observações são ( em miligramas por litro ) : 5.0 : 34 : 39 : 13 : 02 : 09 : 27 : 3,7 : 3.8 : 4.J : 1.0 : 1.0 : 0.8 : 0.4 3.8 : 4.5 : 5.3 : 6.1 : 69c6.5 .

( a ) Há evidência que suporte a suposição de que a concentração de oxigenio dissolvido seja normalmente distribuída ?

( b ) Encontre um IC de 95 % para a concentração média de oxigênio dissolvido

( c ) Encontre um intervalo de previsão de 95 % para a concentração média de oxigênio dissolvido para a próxima corrente do sistema que será testada .

( d ) Encontre um intervalo que conterá 95 % dos valores da concentracão média de oxigênio dissolvido com 99 % de confiança

( e ) Explique a diferença entre os tres intervalos calculados nos itens ( b ) ,

( e ) e ( d ) .

Passo 1

Vamos lá pessoal, se liga aqui como que resolve essa questão:

Um gráfico de probabilidade normal é um método gráfico para determinar se os dados da amostra estão em conformidade com uma distribuição normal hipotética com base em um exame visual subjetivo dos dados.

Para construir um gráfico de probabilidade, as observações na amostra são as primeiras classificados do menor ao maior. Ou seja, a amostra x 1 ,   x 2 , . . . ,   x n está organizado como x ( 1 ) , x ( 2 ) , . . . ,   x ( n ) onde x ( 1 ) é a menor observação, x ( 2 ) é a segunda menor observação e assim por diante com x ( n ) sendo a maior. A frequência cumulativa para observação em x ( i ) é:

i - 0.5 n

Uma probabilidade normal é construída em eixos ordinários traçando as pontuações normais padronizadas z i contra x ( i ) onde as pontuações normais padronizadas satisfazem

i - 0.5 n = P Z < z i = Φ z i

Passo 2

Nos eixos horizontais estão os valores x 1 , x 2 , … , x n . Se a distribuição hipotética descreve adequadamente os dados, os pontos traçados cairão aproximadamente ao longo de uma linha reta. Se os pontos traçados desviarem significativamente da linha reta, o modelo hipotético não é apropriado.

Na forma descrita anteriormente, construímos um gráfico de probabilidade normal com base

nas observações 5,0, 3,4, 3,9, 1,3, 0,2, 0,9, 2,7, 3,7, 3,8, 4,1, 1,0, 1,0, 0,8, 0,4, 3,8, 4,5, 5,3. 6.1, 6.9 e 6.5.

O gráfico de probabilidade normal não contém curvatura forte e o padrão é aproximadamente linear, então podemos concluir que os valores dos dados são aproximadamente normalmente distribuídos.

Passo 3

A média da amostra é:

x - = 1 20 ∑ i = 1 20   x i = 3.265

O desvio padrão é:

s = ∑ i = 1 n   x i - x - 2 n - 1 1 2 = ∑ i = 1 20   x i - 3.265 2 19 1 2 = 2.073

Suponha que X 1 , X 2 , . . . ,   X n é uma amostra aleatória de uma população normal. Queremos prever o valor X n + 1 uma única observação futura. Uma previsão de X n + 1 é X ^ , a média da amostra.

Se x _ e s são a média e o desvio padrão de uma amostra aleatória de uma distribuição normal com variância desconhecida σ 2 , um intervalo de confiança 100 ( 1 - α ) % em μ   é dado por

x - - t α 2 , n - 1 s n ≤ μ ≤ x - + t α 2 , n - 1 s n

onde, t α 2 , n - 1 é o ponto percentual superior 100 α 2 da distribuição t com n - 1 graus de liberdade.

Passo 4

Letra b:

Agora, precisamos encontrar um IC de 95% na média da população, então

α 2 = 1 - 0.95 2 = 0.025 ⇒ t α 2 , n - 1 = t 0.025,19 = 2.093

Das equações, temos:

3.265 - 2.093 2.073 20 ≤ μ ≤ 3.265 + 2.093 2.073 20

Portanto, um IC de 95% na média da população é

2.269 ≤ μ ≤ 4.261

Um intervalo de predição (IP) de 100 ( 1 - α ) % em uma única observação futura de uma distribuição normal é dada por

x - - t a 2 , n - 1 s 1 + 1 n ≤ X n + 1 ≤ x - + t a 2 , n - 1 s 1 + 1 n

Passo 5

Letra c:

Sabemos que o nível de confiança é 95% e o tamanho da amostra é n = 20. Portanto,

α 2 = 1 - 0.95 2 = 0.025 t α 2 , n - 1 = t 0.025,19 = 2.093

Da equação, temos:

3.265 - 2.093 × 2.073 1 + 1 20 ≤ X 21 ≤ 3.265 + 2.093 × 2.073 1 + 1 20

Portanto, um intervalo de previsão de 95% é

- 1.297 ≤ X 21 ≤ 7.827

Um intervalo de tolerância para capturar pelo menos γ % dos valores em uma distribuição normal com nível de confiança 100 ( 1 - α ) % é

x - - k s , x - + k s

onde k é um fator de intervalo de tolerância encontrado na Tabela XII do Anexo. Os valores são dados para γ = 90 % ,   95 % e 99 % e para 90 % ,   95 %   e 99 % de confiança.

Passo 6

Letra d:

Primeiro, nós achamos o valor de k. Sabemos que o nível de confiança é 99% e γ = 95 % , o tamanho da amostra é n = 20. Portanto, da Tabela XII do Apêndice, o valor de k é:

k = 3.168

Agora, da equação, um intervalo de tolerância é

3.265 - 3.168 × 2.073,3.265 + 3.168 × 2.073 ( - 3.474,10.004 )

Passo 7

Letra e:

Da parte b), c) e d), concluímos que a duração do intervalo de tolerância é mais longo do que a duração do intervalo de predição e a duração do intervalo de predição é maior do que a duração do intervalo de confiança.

Resposta

  1. Ver resolução
  2. 2.269 ≤ μ ≤ 4.261
  3. - 1.297 ≤ X 11 ≤ 7.827
  4. - 3.474,10.004
  5. V e r   r e s o l u ç ã o
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