Enunciado

Uma pepulação normal tem uma média conhecida igual a 50 e uma variancia descenhecida.

  1. Uma amostra aleatoria de n=16 c sclecienada a partir dessa população, sendo es resultados amostrais iguais a. Quão usuais sao esses resultados? Iste é, qual é a prebabilidade de observar uma media amostral tao grande quanto 52 ( eu maior) sc a média em foco conhecida for realmente 50?
  2. Uma amostra aleatória de n = 30 é sclecienada a partir dessa pepulacao, onde os resultados amostrais iguais. Quao nao-usuais sao esses resultados?
  3. Uma amostra alcateria de selecienada a partir dessa pepulacao, sendo os resultados amestrais iguais a. Quae nao-usuais sae esses resultados?
  4. Compare suas respostas dos itens (a) a (c) e explique por que elas são as mesmas ou são difernetes

Passo 1

Seja X 1 ,   X 2 , . . . ,   X n seja uma amostra aleatória de uma distribuição normal com média desconhecida μ   e variância desconhecida σ 2 . A variável aleatória

T = X - - μ s n

tem uma distribuição t com n - 1 graus de liberdade.

Uma população normal tem uma média conhecida de μ 0 = 50 e a variância desconhecida (a

razão pela qual usamos estatística t). Sabemos que a média da amostra é

x - = 52

e o desvio padrão da amostra é

s = 8

Passo 2

Letra a:

Sabemos que o tamanho da amostra é n = 16, então os graus de liberdade são n - 1 = 15. Nós precisamos determinar a probabilidade de observar uma amostra média maior de 52, ou seja

P ( x - > 52 ) = * P x - - μ 0 s n > 52 - μ 0 s n = P x - - 52 8 4 > 52 - 50 8 4 = P T 15 > 1

(*): Desigualdade não muda se adicionarmos - μ aos lados esquerdo e direito e divida por s n > 0

Das equações, temos uma variável aleatória

T 15 = x - - μ 0 s / n

tem uma distribuição t com 15 graus de liberdade. Do Apêndice Tabela V nós sabemos que a probabilidade

P T 15 > 1.341 = 0.1 P T 15 > 0.691 = 0.25

Então

0.1 = P T 15 > 1.341 < P T 15 > 1 < P T 15 > 0.691 = 0.25

do que a probabilidade de observar uma média de amostra maior que 52 é:

0.1 < P ( x - > 52 ) < 0.25

Se quisermos determinar o valor exato da probabilidade P ( x _ > 52 ) , usamos algum programa de sua escolha, e chegamos em:

P ( x - > 52 ) = 0.16658

Passo 3

Letra b:

Sabemos que o tamanho da amostra é n = 30, então os graus de liberdade são n - 1 = 29. Nós precisamos determinar a probabilidade de observar uma amostra média maior de 52, ou seja

P ( x - > 52 ) = P x - - 50 8 30 > 52 - 50 8 30 = P T 29 > 1.369

Das equações, temos uma variável aleatória

T 29 = x - - μ 0 s / n

tem uma distribuição t com 15 graus de liberdade. Do Apêndice Tabela V nós sabemos que a probabilidade

P T 29 > 1.311 = 0.1 P T 29 > 1.699 = 0.05

Então,

0.05 = P T 29 > 1.699 < P T 29 > 0.369 < 0.1 = P T 29 > 1.311

do que a probabilidade de observar uma média de amostra maior que 52 é:

0.05 < P ( x - > 52 ) < 0.1

Se quisermos determinar o valor exato da probabilidade P ( x _ > 52 ) , usamos algum programa de sua escolha, e chegamos em:

P ( x - > 52 ) = 0.090708

Passo 4

Letra c:

Sabemos que o tamanho da amostra é n = 100, então os graus de liberdade são n - 1 = 99. Nós precisamos determinar a probabilidade de observar uma amostra média maior de 52, ou seja

P ( x - > 52 ) = P x - - 50 8 100 > 52 - 50 8 100 = P T 99 > 2.5

Das equações, temos uma variável aleatória

T 99 = x - - μ 0 s / n

tem uma distribuição t com 99 graus de liberdade.

Na Tabela V do Apêndice, não sabemos a probabilidade da variável aleatória T 99 , então usamos o mesmo procedimento da parte a) e obtemos.

P ( x - > 52 ) = 0.00703

Passo 5

Letra d:

Se compararmos suas respostas com as partes (a) - (c), concluímos que se o tamanho da amostra aumenta, a probabilidade de observar uma média amostral maior que 52 fica menor.

A figura a seguir mostra que para valores maiores de x, a probabilidade P ( T > x ) é menor. Portanto, se o tamanho da amostra aumenta, os valores

x = 52 - μ 0 s / n

são maiores e a probabilidade de observar uma média amostral maior que 52 é menor.

Resposta

  1. P x - > 52 = 0.16658
  2. P x - > 52 = 0.090708
  3. P x - > 52 = 0.00703
  4. Ver resolução
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