Enunciado

Numa caixa existem 4 bolas numeradas 3, 5, 5 e 7. Uma bola é sorteada ao acaso, seu número anotado X 1 e devolvida à caixa. Uma segunda bola é escolhida, também ao acaso, e seu número denotado por X 2 .

a. Determine a conjunta de X 1 e   X 2 .

b. Calcule as marginais de X 1   e   X 2 . Elas são independentes?

c. Encontre o valor esperado e a variância de X 1 ,   X 2   e   X - = X 1 + X 2 2 .

Passo 1

Vamos resolver (a) e (b). Determinaremos a conjunta de X 1   e   X 2 por meio de uma tabela de dupla entrada, nessa tabela também estarão incluídas as marginais de X 1   e   X 2 .

Note que a probabilidade de pegar uma bola numerada com 3 ou 7 na caixa é de 1 / 4 e a probabilidade de pegar uma bola numerada com o número 5 é de 2 / 4 , assim:

As variáveis são independentes, o primeiro evento que é a retirada da bola não interfere no segundo evento, que é a retirada da segunda bola. Isso acontece porque houve a reposição da bola retirada na primeira vez, ou seja, após acontecer o primeiro evento, na caixa ainda tem 4 bolas, assim como antes de ser retirada uma bola.

Numericamente, podemos provar da seguinte forma:

P X 1 = x 1 ∩ X 2 = x 2 = P X 1 = x 1 P X 2 = x 2   p a r a   t o d o   p a r   ( x 1 , x 2 )

Se pegarmos qualquer ponto do corpo da tabela e multiplicar as suar marginais, teremos o valor descrito no corpo. Isso nos confirmará que as variáveis são independentes.

Passo 2

Em (c) queremos calcular a esperança e a variância de X 1 , X 2   e   X - . Começando pela esperança, teremos que ela é dada por uma forma genérica da seguinte maneira:

E X = ∑ x ⋅ p ( x )

Assim,

E X 1 = 3 4 + 5 2 + 7 4 = 20 4 = 5

E X 2 = 3 4 + 5 2 + 7 4 = 20 4 = 5

Para X - teremos:

E X - = E X 1 + E X 2 2 = 5 + 5 2 = 5

Passo 3

A variância será dada por:

V a r X = E X 2 - E X 2

Assim,

V a r X = ∑ x 2 ⋅ p x - E X 2

Daí:

V a r X 1 = 9 4 + 25 2 + 49 4 - 25 = 2 = V a r ( X 2 )

A variância de X - será dada por:

V a r X - = V a r X 1 + V a r X 2 2 = 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Dois método de medir a suavedade de uma superfície são usados para avaliar um produto feito de papel. As medidas, em unidade codificadas, são registradas como desvios em relação a um valor nominal da
Determine o valor de ser que torna a função uma função densidade de probabilidade conjunta ao longo da faixaDetermine o seguinte:
Determine o valor de ser Equi tornar função uma função densidade de probabilidade conjunta ao longo da faixa. Determine o seguinte:
Determine o valor de ser, tal que a função satisfaça as propriedades de uma função densidade probabilidade conjunta. Determine o seguinte: g) distribuição de probabilidade marginais da variável aleató
Suponha que X tenha fdp dada por f x = 2 x ,0 ≤ x ≤ 1 . Determine a fgm de M e calcule E(X) e V(X)