Enunciado

62. O caso especial da distribuição gama em que α é um inteiro positivo n é denominado distribuição de Erlang. Se substituirmos por 1/ α na Expressão (4.7), a fdp Erlang será

f x ; λ ; n = λ ( λ x ) n - 1 e - λ x n - 1 ! ;   x ≥ 0 0 ;   x < 0

É possível demonstrar que, se os tempos entre os eventos sucessivos forem independentes, cada um com uma distribuição exponencial de parâmetro λ , o tempo total X antes de todos os n próximos eventos ocorrerem terá fdp f(x; λ , n).

a) Qual é o valor esperado de X? Se o tempo (em minutos) entre as chegadas de clientes sucessivos for distribuído exponencialmente com λ = 0,5, quanto tempo podemos esperar que passe antes da chegada do décimo cliente?

b) Se o tempo entre as chegadas de clientes for distribuído exponencialmente com λ = 0,5, qual é a probabilidade de o décimo cliente (depois do que acabou de chegar) chegue dentro dos próximos 30 minutos?

c) O evento {X t} ocorre se e somente se ao menos n eventos ocorrerem nas próximas t unidades de tempo. Use o fato de que o número de eventos que ocorrem em um intervalo de duração t possui uma distribuição de Poisson com parâmetro t para escrever uma expressão (envolvendo probabilidades de Poisson) para a FDA de Erlang F(t; λ , n) = P(X t).

Passo 1

Fala galerinha boa? Tudo bem com vocês? Vamos realizar mais um exercício sobre Distribuição Gama.

Na letra a, queremos o valor esperado:

E X = α β = n 1 λ = n λ

E para λ = 0,5 e n = 10, E(X)=20.

Passo 2

Na letra b, queremos a probabilidade de o décimo cliente (depois do que acabou de chegar) chegue dentro dos próximos 30 minutos:

P X ≤ 30 = F 30 2 ; 10 = F 15 ; 10 0,930

Passo 3

Na letra c, queremos escrever uma expressão (envolvendo probabilidades de Poisson) para a FDA de Erlang F(t; λ , n) = P(X t).

P X ≤ t = P p e l o   m e n o s   n   e v e n t o s   n o   t e m p o   t

P X ≤ t = P ( Y ≥ t ) quando Y ~ Poisson com parâmetro λ t. Então:

P X ≤ t = 1 - P Y < n = 1 - P Y ≤ n - 1 = 1 - ∑ k = 0 n - 1 e - λ t ( λ t ) k k !

Valeu, moçada! Até a próxima!

Resposta

a) n λ ; 20

b) 0,930

c) 1 - ∑ k = 0 n - 1 e - λ t ( λ t ) k k !

Exercícios de Livros Relacionados

A resistência à compressão de amostras de cimento pode ser modelada por uma distribuição normal, com uma média de 6000 quilogramas por centímetro quadrado e um desvio-padrão de 100 quilogramas por cen
O tempo de recarga, sob condições normais, de uma bateria de um laptop é distribuído normalmente, com média de 260 minutos e um desvio-padrão de 50 minutos.Qual é a probabilidade da bateria durar mais
Suponha que X seja distribuída normalmente, com um média de 10 e um desvio-padrão de 2. Determine o valor de x que resolve cada um dos seguintes itens: P ( Xx ) = 0.5 P ( Xx ) = 0.95 P ( xX10 ) = 0.2
Suponha que X seja distribuída normalmente, com uma média de 5 e um desvio-padrão de 4. Determine o valor de x que resolve cada um dos seguintes itens: P ( Xx ) = 0.5 P ( Xx ) = 0.95 P ( xX9 ) = 0.2 P
O volume de enchimento de uma máquina automática de enchimento usada para encher latas de bebidas gasosas é distribuído normalmente, com uma média de 12.4 onças fluidas e um desvio-padrão de 0.1 onça