Enunciado

63. Um sistema consiste de cinco componentes idênticos conectados em série, conforme ilustrado:

Se um componente falhar, todo o sistema falhará. Suponha que cada componente tenha um tempo de vida distribuído exponencialmente com λ = 0,01 e que eles falhem de forma independente. Defina os eventos Ai = {i-ésimo componente que dura no mínimo t horas}, i = 1,..., 5, de forma que os Ais são eventos independentes. Seja X = momento da falha do sistema, isto é, o tempo de vida mais curto (mínimo) entre os cinco componentes.

a) O evento {X t} é equivalente a que evento que envolva A1 , . . . , A5?

b) Usando a independência dos Ais, calcule P(X t). Obtenha então F(t) = P(X t) e a fdp de X. Que tipo de distribuição tem X?

c) Suponha que haja n componentes, cada um com tempo de vida exponencial com parâmetro λ . Que tipo de distribuição tem X?

Passo 1

Fala galerinha boa? Tudo bem com vocês? Vamos realizar mais um exercício sobre Distribuição Exponencial.

Na letra a, queremos o evento {X t}:

P ( X ≥ t ) = A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ A 4 ∩ A 5

Passo 2

Na letra b, queremos F(t) = P(X t) e a fdp de X:

P ( X ≥ t ) = P ( A 1 ) . P ( A 2 ) . P ( A 3 ) . P ( A 4 ) . P ( A 5 ) = e - λ t 5 = e - 0,05 t

Então:

F x t = P X ≤ t = 1 - e - 0,05 t ;   f x t = 0,05 e - 0,05 t   p a r a   t ≥ 0

Sendo assim, X tem distribuição exponencial, mas com parâmetro λ = 0,05.

Passo 3

Na letra c, pelo mesmo raciocínio da letra b, P X ≤ t = 1 - e - n λ t . Então, X tem distribuição exponencial com parâmetro n λ .

Valeu, moçada! Até a próxima!

Resposta

a) P ( X ≥ t ) = A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ A 4 ∩ A 5

b) F x t = P X ≤ t = 1 - e - 0,05 t ;   f x t = 0,05 e - 0,05 t   p a r a   t ≥ 0

c) P X ≤ t = 1 - e - n λ t

Exercícios de Livros Relacionados

58. Suponha que, quando um certo tipo de transistor é sujeito a um teste de vida acelerado, o tempo de vida X (em semanas) possui distribuição gama com média 24 semanas e desvio padrão 12 semanas.a) Q
55 Calcule os dados a seguir:a) Γ ( 6 ) b) Γ 5 / 2 c F 4 ; 5 ) (a função gama incompleta)d) F 5 ; 4 e) F ( 0 ; 4 )
57. Suponha que o tempo gasto por um aluno selecionado aleatoriamente que usa um terminal conectado a uma instalação de computador com time-sharing tem uma distribuição gama com média de 20 minutos e
60. Seja X a distância (m) que um animal viaja desde seu local de nascimento até o primeiro local vago que encontra. Suponha que, para ratos-cangurus de rabo de bandeira, X possui uma distribuição exp
65. a. O evento { X 2 ≤ y } é equivalente a que evento que envolve X?b. Se X tiver distribuição normal padrão, use a parte (a) para escrever a integral que iguala P ( X 2 ≤ y ). Diferencie então essa