Enunciado

Em certa comunidade, há 3 famílias formadas por um único pai e um filho, 3 famílias formadas por um único pai e 2 filhos, 5 famílias formadas por 2 pais e um filho único, 7 famílias formadas por 2 pais e 2 filhos, e 6 famílias formadas por 2 pais e 3 filhos. Se um pai e um filho de cada família tiverem que ser escolhidos, existem quantas possibilidades de escolha?

Passo 1

Opa galeeeeera! Hoje vamos escolher pais e filhos.

Vamos recapitular o número de famílias, temos:

1° tipo - 3 famílias com 1 pai e 1 filho

2° tipo - 3 famílias com 1 pai e 2 filhos

3° tipo - 5 famílias com 2 pais e 1 filho

4° tipo - 7 famílias com 2 pais e 2 filhos

5° tipo - 6 famílias com 2 pais e 3 filhos

Vamos ter que contar de quantas formas podemos escolher um pai e um filho de cada uma das famílias.

Passo 2

Há 3 escolhas que podem ser feitas de famílias formadas por um único pai e 1 filho; 3 . 1 .2 = 6 escolhas que podem ser feitas de famílias formadas por um único

pai e 2 filhos; 5 .2 . 1 = 10 escolhas que podem ser feitas de famílias formadas por

2 pais e um único filho; 7 . 2 . 2 = 28 escolhas que podem ser feitas de famílias formadas por 2 pais e 2 filhos; 6 .2 .3 = 36 escolhas que podem ser feitas de famílias

formadas por 2 pais e 3 filhos. Há, portanto, 80 escolhas possíveis.

No primeiro tipo de família há somente 1 escolha para cada família, pois só temos uma opção de pai e uma opção de filho. Havendo 3 escolhas a serem feitas.

Pelo Princípio Fundamental da Contagem (PFC) há somente 1 opção de escolha de um pai e um filho para todas as famílias do tipo um.

No segundo tipo de família temos que escolher um pai ( há 1 1 = 1 formas de se fazer isto ), e escolher um filho ( há 2 1 = 2 formas de se fazer isto ). Então há 1 ⋅ 2 = 2 formas de se escolher uma família do tipo dois, e como há 3 famílias deste tipo teremos 2 ⋅ 3 = 6 formas de escolher todas elas.

Para o terceiro tipo de família há 2 1 formas de se escolher o pai e 1 1 formas de se escolher o filho e há 5 famílias, totalizando 2 1 1 1 5 = 10 formas de se escolher.

Para o quarto tipo de família há 7 2 1 2 1 = 28 formas de se escolher.

Para o quinto tipo de família há 6 2 1 3 1 = 36 formas de se escolher.

Resposta

Então há 3 + 6 + 10 + 28 + 36 = 83 possibilidades.

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