Enunciado

Num certo ano, foi feito um levantamento numa empresa, mês a mês, a respeito do custo total de fabricação por unidade produzida ( Y ), em cruzeiros, em função do gasto com matéria-prima ( X 1 ), em mil cruzeiros, e do número de funcionários ( X 2 ). Efetuando os cálculos dos somatórios necessários ao cálculo da regressão, obtivemos:

Pede-se:

  1. Calcular o coeficiente de explicação dessa regressão simples.

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Vem comigo!

A regressão linear múltipla é a regressão em que sabemos como K variáveis contribuem para a realização do fenômeno, e a parte funcional da regressão é uma função linear. Onde a estimativa da equação de regressão é dada por:

Y ^ = a + b 1 X 1 + b 2 X 2 + ⋯ + b k X k

Onde as estimativas a , b 1 , b 2 , , b k dos coeficientes α , β 1 , β 2 , , β k podem ser calculadas pelo método dos mínimos quadrados, partindo de hipóteses análogas aquelas adotadas pela regressão linear simples.

Para o cálculo do coeficiente de explicação, para duas variáveis explicativas temos a seguinte equação:

R 2 = b 1 S Y 1 + b 2 S Y 2 S Y Y

Como no enunciado queremos o coeficiente de explicação da regressão linear simples de Y em função de X 2 , a equação fica:

R 2 = b 2 S Y 2 S Y Y

Passo 2

Então vamos lá para nosso exercício. Pelo enunciado, conseguimos identificar que o levantamento da empresa foi feito mês a mês, durante um ano, ou seja:

n = 12

Primeiramente, precisamos calcular a covariância entre Y e X 2 :

S Y 2 = ∑ X 2 ∙ Y - ( ∑ Y ) ∙ ( ∑ X 2 ) n

S Y 2 = 5914 - 114 ∙ 612 12 = 100

A variância de X 2 :

S 22 = ∑ X 2 2 - ∑ X 2 2 n

S 22 = 31662 - 612 2 12 = 450

A covariância entre X 1 e X 2 :

S 21 = S 12 = ∑ X 1 ∙ X 2 - ( ∑ X 1 ) ∙ ( ∑ X 2 ) n

S 21 = S 12 = 29766 - 576 ∙ 612 12 = 390

E a variância de Y :

S Y Y = ∑ Y 2 - ∑ Y 2 n = 1113 - 114 2 12 = 30

Passo 3

O cálculo de b 2 é dada pela seguinte equação:

b 2 = S Y 2 S 21 - S Y 1 S 11 S 22 S 21 - S 12 S 11

Mas como queremos apenas para Y em função de X 2 :

b 2 = S Y 2 S 21 S 22 S 21 = 100 390 450 390 = 0,22

Então conseguimos calcular o coeficiente de explicação da regressão simples para Y em função de X 2 :

R 2 = b 2 S Y 2 S Y Y = 0,22 ∙ 100 30 = 73,3 %

Tchau galerinha, até mais!

Resposta

R 2 = 73,3 % .

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