Enunciado

Num certo ano, foi feito um levantamento, em 10 estados brasileiros, a respeito do número de vagas oferecidas nas escolas de nível superior ( Y ), em 1.000 unidades, em função do número de candidatos aprovados ( X 2 ) e do número de candidatos inscritos ( X 1 ).

Efetuando os cálculos dos somatórios necessários ao cálculo de regressão, foram obtidos:

Pede-se:

  1. Dar a equação da regressão linear múltipla.

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Vem comigo!

A regressão linear múltipla é a regressão em que sabemos como K variáveis contribuem para a realização do fenômeno, e a parte funcional da regressão é uma função linear. Onde a estimativa da equação de regressão é dada por:

Y ^ = a + b 1 X 1 + b 2 X 2 + ⋯ + b k X k

Onde as estimativas a , b 1 , b 2 , , b k dos coeficientes α , β 1 , β 2 , , β k podem ser calculadas pelo método dos mínimos quadrados, partindo de hipóteses análogas aquelas adotadas pela regressão linear simples.

Para o caso de ter apenas duas variáveis explicativas:

Y ^ = a + b 1 X 1 + b 2 X 2

Para encontrarmos os valores de a , b 1 e b 2 , iremos utilizar as equações:

O cálculo das médias ( Y , X 1 e X 2 ) são dadas pelas seguintes equações:

Para as variâncias vamos usar as equações:

E para as covariâncias:

Passo 2

Primeiramente iremos calcular as médias de Y , X 1 e X 2 , respectivamente:

Y - = 4 0 1 0 = 4

X - 1 = 8 5 1 0 = 8 , 5

X - 2 = 35 1 0 = 3,5

O cálculo das variâncias:

S 11 = 2 050 - 85 2 1 0 = 132 8

S 22 = 260 - 35 2 1 0 = 13 8

S Y Y = 3 20 - 4 0 2 1 0 = 16 0

E das covariâncias:

S Y 1 = 790 - 40 ∙ 8 5 1 0 = 45 0

S Y 2 = 290 - 4 0 ∙ 35 1 0 = 1 5 0

S 21 = S 12 = 730 - 8 5 ∙ 35 1 0 = 4 3 3

Passo 3

Com esses valores, finalmente conseguimos calcular os valores de b 2 , b 1 e a :

b 2 = 1 5 0 432,5 - 450 1327,5 137,5 432,5 - 432,5 1327,5 = - 1,03

b 1 = 1 5 0 43 3 - 138 433 ∙ ( - 1,03 ) = 0 , 6 7

a = 4 - 0,67 ∙ 8,5 - ( - 1,03 ) ∙ 3 , 5 = 1,91

Por fim, temos a equação da regressão linear múltipla:

Y ^ = 1,91 + 0 , 6 7 ∙ X 1 - 1,03 ∙ X 2

Prontinho pessoal, até mais!

Resposta

Y ^ = 1,91 + 0,67 ∙ X 1 - 1,03 ∙ X 2 .

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