Enunciado

Uma empresa produtora de cimento, desejando abrir uma fábrica no Paraná, realizou um estudo da demanda do produto, com a finalidade de pleitar um empréstimo junto ao BNDE. Para isto, coletou dados sobre o consumo W (expresso em 1.000 ton.), a renda “per capita” Z 1 (expressa em Cr$) e o número de habitantes Z 2 (expresso em milhares), referentes ao ano de 1968, para os 21 estados brasileiros. Feita a análise, verificou-se que a relação entre as variáveis assumia a forma funcional: W = A ∙ Z 1 b 1 ∙ Z 2 b 2 , a qual recai em:

Y = a + b 1 X 1 + b 2 X 2 ,

mediante as seguintes transformações logarítmicas:

log ⁡ W = Y , log ⁡ Z 1 = X 1 , log ⁡ Z 2 = X 2 e log ⁡ A = a .

Tomados os logaritmos dos valores obtidos no levantamento, foram calculados:

Pede-se:

  1. Dar a equação da regressão de W só em função de Z 1 : W ^ = A Z 1 b ;
  2. Dar a equação de regressão de W em função de Z 1 e Z 2 : W ^ = A ' Z 1 b 1 ∙ Z 2 b 2 ;
  3. Calcular o coeficiente de explicação dessas 2 regressões;
  4. Efetuar a análise do melhoramento do modelo múltiplo (com Z 1 e Z 2 ) em relação ao modelo simples (só com Z 1 ), ao nível de 0,5%;
  5. Calcular o consumo de cimento estimado, num estado em que a renda “per capita” é de Cr$ 200,00 e a população de 5.000.000 habitantes.

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Vem comigo!

No item a) queremos calcular a regressão de W só em função de Z 1 , tendo a seguinte equação:

W ^ = A Z 1 b

Então precisamos calcular os valores de b :

b = S Y 1 S 11 = 2,52 1,12 = 2,25

E de A , mas primeiramente iremos calcular o valor de a apenas em função de Z 1 :

a = Y - - b ∙ X - 1 = 1,82 - 2,25 ∙ 1,15 = - 0,77

Pelo enunciado temos:

log ⁡ A = a

A = 10 a = 10 - 0,77 = 0,17

Logo:

W ^ = 0,17 ∙ Z 1 2,25

Passo 2

Já no item b) queremos a regressão de W em função de Z 1 e Z 2 , onde:

W ^ = A ' Z 1 b 1 ∙ Z 2 b 2

Vamos calcular os valores de a , b 1 e b 2 , através das equações:

Logo:

b 2 = 4,05 0,74 - 2,52 1,12 2,48 0,74 - 0,74 1,12 = 1,20

b 1 = 4,05 0,74 - 2,48 0,74 ∙ 1,20 = 1,45

a = 1,82 - 1,46 ∙ 1,15 - 1,20 ∙ 3,38 = - 3,915

Sabendo que (como visto no Passo 1):

A = 10 a = 10 - 3,915 = 0,00012

Então temos a seguinte regressão:

W ^ = 0,00012 ∙ Z 1 1,45 ∙ Z 2 1,20

Passo 3

No item c) iremos calcular o coeficiente de explicação pela seguinte equação:

R 2 = b 1 S Y 1 + b 2 S Y 2 S Y Y

Para a regressão de W só em função de Z 1 , temos a equação da seguinte forma:

R 2 = b ∙ S Y 1 S Y Y

Como visto no Passo 1, b = 2,25 :

R 2 = 2,25 ∙ 2,52 9,39 = 60,4 %

Já para a regressão de W em função de Z 1 e Z 2 , iremos utilizar a equação inteira ( b 1 = 1,45 e b 2 = 1,20 ):

R 2 = 1,45 ∙ 2,52 + 1,20 ∙ 4,05 9,39 = 90,7 %

Passo 4

Para o item d) iremos realizar a análise de melhoramento. Essa análise tem como objetivo avaliar se o aumento de variáveis no modelo pode melhorar o mesmo de maneira significativa. Se o modelo é dado por f ( X 1 ) , onde explica b S Y 1 = b S Y X 1 e acrescentamos outra variável explicativa no modelo, temos f ( X 1 ,     X 2 ) e a explicação é dada por b 1 S Y 1 + b 2 S Y 2 . O melhoramento, devido a introdução de uma nova variável é dado pela equação:

∆   = b 1 S Y 1 + b 2 S Y 2 - S Y 1 S 11 ∙ S Y 1

E a tabela de Análise de Variância fica:

Se F M > F t a b então o melhoramento é significativo.

Para este Passo iremos precisar do valor de n = 21 estados brasileiros. Com isso, conseguimos encontrar o valor de F tabelado, onde:

  • G L M = 1 ;
  • G L R = n - 3 = 18 .

Para α = 0,005 :

F t a b = 10,22

Agora vamos calcular o melhoramento:

∆   = b 1 S Y 1 + b 2 S Y 2 - S Y 1 S 11 ∙ S Y 1

∆   = 1,45 ∙ 2,52 + 1,20 ∙ 4,05 - 2,52 1,12 ∙ 2,52

∆   = 2,84

E o quadrado médio residual:

S 2 = S Y Y - b 1 ∙ S Y 1 - b 2 ∙ S Y 2 n - 3

S 2 = 9,39 - 1,45 ∙ 2,52 - 1,20 ∙ 4,05 21 - 3 = 0,05

Com isso conseguimos obter F calculado:

F M = 2,84 0,05 = 56,8

Como F M > F t a b ( 56,8 > 10,22 ), o melhoramento é significativo para α = 0,005 .

Passo 5

No item e) temos os seguintes dados:

  • Z 1 = 200,00 ;
  • Z 2 = 5000000 10 3 = 5000 .

Com a equação que encontramos no Passo 2, conseguimos encontrar o consumo estimado de cimento:

W ^ = 0,00012 ∙ Z 1 1,45 ∙ Z 2 1,20

W ^ = 0,00012 ∙ 200 1,45 ∙ 5000 1,20

W ^ = 7152 ∙ 1000   t o n e l a d a s

W ^ = 7152000   t o n e l a d a s

Esse exercício foi demoradinho, mas espero ter conseguido te ajudar, até mais!

Resposta

  1. W ^ = 0,17 ∙ Z 1 2,25 .
  2. W ^ = 0,00012 ∙ Z 1 1,45 ∙ Z 2 1,20 .
  3. R 2 = 60,4 % regressão simples;
  4. R 2 = 90,7 % regressão múltipla.

  5. O melhoramento foi significativo ( F M > F t a b ).
  6. W ^ = 7152000   t o n e l a d a s .

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