Enunciado

Uma coleção de artes formada por 4 Dalis, 5 Van Goghs e 6 Picassos foi leiloada.

No leilão havia 5 colecionadores de arte.

Se um repórter tivesse anotado apenas o número de Dalis, Van Goghs e Picassos adquiridos por cada colecionador, quantos resultados diferentes poderiam ter sido registrados se todos os trabalhos tivessem sido vendidos?

Passo 1

Opa galeeeeera! Hoje vamos leiloar umas peças de arte.

Como o que importa é a quantidade que cada um dos colecionadores levou podemos pensar que o n -ésimo colecionador levou x i Dalis, y i Van Goghs e z i Picassos. Sabendo disso podemos escrever que:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 4 y 1 + y 2 + y 3 + y 4 + y 5 = 5 z 1 + z 2 + z 3 + z 4 + z 5 = 6

“A soma da quantidade de quadros que os colecionadores compraram deve ser igual ao número de quadros vendidos”.

Passo 2

Para vermos as formas que esse resultado poderia sair podemos simplesmente contar todas as soluções não negativas deste sistema linear.

Segundo o livro podemos utilizar a seguinte permutação com repetição:

P n + k - 1 n , k - 1 = n + k - 1 ! n ! k - 1 ! Sendo n o valor que não acompanha nenhuma variável, e k o número de variáveis.

Passo 3

Então para a primeira equação n = 4 e k = 5 :

8 ! 4 ! 4 ! = 70

Para a segunda, n = 5 e k = 5 :

9 ! 5 ! 4 ! = 126

Para a terceira, n = 6 e k = 5 :

10 ! 6 ! 4 ! = 210

Passo 4

Então pelo PFC teremos:

70 ⋅ 126 ⋅ 210 = 1852200

Resposta

1852200 Formas do repórter registrar o ocorrido.

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