Enunciado

Quantos arranjos de letras diferentes podem ser feitos a partir de:

(a) Sorte?

(b) Propose?

(c) Mississippi?

(d) Arranjo?

Passo 1

Opa galeeeeera! Hoje vamos lidar com alguns anagramas.

Para descobrirmos de quantas formas podemos embaralhar algo vamos utilizar a permutação de n elementos com repetições:

P n α , β … ζ = n ! α ! β ! … ζ !

Vamos entender essa formula utilizando os itens como exemplos.

Passo 2

A) A palavra “Sorte” tem 5 letras e nenhuma repetição de letras, então podemos arranjar ela de P 5 formas diferentes:

P 5 = 5 ! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120

Ou seja, há 120 formas de se arranjar as letras da palavra “Sorte”.

Passo 3

B) A palavra “Propose” tem 7 letras e a letra “o” e a letra “p” aparecem repetidas duas vezes cada, então podemos arranjar ela de P 7 2 , 2 ( permutação de 7 elementos com 2 e 2 repetições ) formas diferentes:

P 7 2,2 = 7 ! 2 ! 2 ! = 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 4 = 1260

Ou seja, há 1260 formas de se arranjar as letras da palavra “Propose”.

Passo 4

C) A palavra “Mississippi” tem 11 letras e a letra “s” se repete 4 vezes, a letra “i” se repete 4 vezes e a letra “p” se repete 2 vezes, então podemos arranjar ela de P 11 4 , 4,2 ( permutação de 11 elementos com 4, 4 e 2 repetições ) formas diferentes:

P 11 4,4 , 2 = 11 ! 4 ! 4 ! 2 ! = 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ! 4 ! 4 ! 2 !

Simplificando um pouco as contas:

= 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 4 ! 2 ! = 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 8 ⋅ 6 = 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 7 ⋅ 5

P 11 4,4 , 2 = 34650

Ou seja, há 34650 formas de se arranjar as letras da palavra “Mississippi”.

Passo 5

D) A palavra “Arranjo” tem 7 letras e a letra “r” a letra “a” aparecem repetidas duas vezes cada, então podemos arranjar ela de P 7 2,2 ( permutação de 7 elementos com 2 e 2 repetições ) formas diferentes:

P 7 2,2 = 7 ! 2 ! 2 ! = 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 4 = 1260

Ou seja, há 1260 formas de se arranjar as letras da palavra “Arranjo”.

Resposta

a) 120

b) 1260

c) 34650

d) 1260

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