Enunciado

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Considere os dados dos testes de pneu descritos do exercício 8-23. Calcule o intervalo de previsão de 95% para vida do próximo pneu desse tipo, testado sob condições que são similares àquelas empregadas no texto original. Compare o comprimento do intervalo de previsão com o comprimento do IC de 95% para a média da população.

Passo 1

Suponha que X 1 ,   X 2 , . . . ,   X n seja uma amostra aleatória de uma população normal. Nós queremos prever o valor X n + 1 , uma única observação futura. Um ponto de previsão de X n + 1 é X ^ , a média da amostra.

Um intervalo de previsão de 100 ( 1 - α ) % (PI) em uma única observação futura de uma distribuição normal é dada por

x _ - t α 2 , n - 1 s 1 + 1 n ≤ X n + 1 ≤ x _ + t α 2 ,   n - 1 s 1 + 1 n

Sabemos que o nível de confiança é de 95% e o tamanho da amostra n = 16. Portanto:

α 2 = 1 - 0.95 2 = 0.025

t α 2 ,   n - 1 = t 0.025 ,   15 = 2.131

  • t α , n - 1 é um ponto percentual da distribuição t 100 α de cauda superior com n - 1 grau de liberdade. Na Tabela V do Apêndice, os valores de α são os títulos das colunas, e os graus de liberdade estão listados na coluna da esquerda.

Passo 2

Do Exercício 8-23, sabemos que o desvio padrão s = 3645.94 e a média da amostra x _ = 60139.7 , então, da primeira equação obtemos:

60139.7 - 2.131 × 1 + 1 16 ≤ X 17 ≤ 60139.7 + 2.131 × 3645.94 1 + 1 16

Portanto, o intervalo de previsão de 95% sobre a vida útil do próximo pneu é:

52121.08 ≤ X 17 ≤ 68148.31

No exercício 8-23, obtivemos que um IC de 95% na média da população, e ele é:

58197.325 ≤ μ ≤ 62082.074

Agora, das equações, concluímos que 95% de intervalo de previsão é consideravelmente superior a 95% de intervalo de confiança. Isso ocorre porque o IC é uma estimativa de um parâmetro, mas o PI é uma estimativa de intervalo de uma única observação futura. O intervalo de predição para X n + 1 será sempre maior do que o intervalo de confiança μ porque mais variabilidade está associada ao erro de previsão e não com o erro de estimativa.

Resposta

52121.08 ≤ X 17 ≤ 68148.31

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