Enunciado

Considere a v.a. discreta X   com função de probabilidade dada por:

p x = P X = x = 1 θ ,   x = 1,2 ,   … ,   θ

onde θ   >   0 é um número inteiro desconhecido. Uma AAS X 1 ,   . . . ,   X n de tamanho   n é

selecionada e considera-se o seguinte estimador de θ :

T = 2 X - - 1 ,   X - = 1 n ∑ i = 1 n X i .  

(a) Mostre que T   é um estimador não-viesado de θ   e obtenha sua variância. T é um

estimador consistente de θ   ? Por quê?

Passo 1

Seja T = 2 × X - - 1 , então:

E T = 2 × E X - - 1 .

Mas E X - = μ , visto que X - é um estimador não tendencioso de μ . Assim,

E T = 2 × μ - 1 .

Portanto, T é um estimador não-viesado.

Passo 2

Vamos, agora, obter a variância de T :

V a r T = V a r 2 × X - - 1 = 2 2 × V a r X - = 4 × V a r 1 n × ∑ X i = 4 n 2 × ∑ V a r X i

Resposta

Como lim n → ∞ ⁡ E T = θ   e lim n → ∞ ⁡ V a r T = 0 ,   concluímos que T é um estimador consistente de θ .

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