1.

Sejam X 1 , X 2 , … , X n uma amostra aleatória da variável aleatória X com distribuição Bernoulli ( p ) .

  1. Qual a distribuição de Y = X 1 + X 2 + … + X n ?
  2. Considere os dois seguintes estimadores para p : T 1 = Y n e T 2 = Y + n 2 n + n . Esses estimadores são não tendenciosos (não viciados) para p ?
  3. Expresse o erro quadrático médio E Q M desses dois estimadores em função de n e p .
  4. Suponha n = 4 e faça um único gráfico mostrando o comportamento do E Q M em função de p para os dois estimadores.
Resolução
2.

Um administrador do governo quer avaliar a proporção p de aprovação da comunidade sobre determinado projeto. Para isso fez uma pesquisa de opinião selecionando ao acaso 40 pessoas da população de interesse. Considerando 1 = favorável e 0 = desfavorável, temos então 40 variáveis aleatórias iid X 1 , X 2 , … , X 40 , todas elas com distribuição de Bernoulli p . Considere as quatro seguintes alternativas de estimador para p :

p ^ A = X 10 + X 20 + X 30 + X 40 4     ,     p ^ B = X 10 + 2 X 20 + 3 X 30 + 4 X 40 10     ,     p ^ C = ∑ i = 1 40 X i 40       ,     p ^ D = ∑ i = 1 10 X i + 2 . ∑ i = 11 20 X i + 3 . ∑ i = 21 30 X i + 4 . ∑ i = 31 40 X i 100

  1. Qual é o viés (ou vício) de cada um desses estimadores?
  2. Expresse o erro quadrático média E Q M de cada um deles em função de p . Ordene esses estimadores em termos de seus E Q M , e diga qual é o melhor de acordo com esse critério.
  3. Se os dados coletados foram:

10001       11111       10111       11110       11000       11111       11111       11100

Qual é a estimativa de p para cada uma das quatro alternativas?

Resolução
3.

Seja X uma v.a. com média µ e variância σ ² . Seja X 1 , … , X n uma amostra aleatória de X . A partir desta amostra aleatória, podemos construir o estimador X ^ ≔ 1 n - 1 ∑ i = 1 n X i para a média.

  1. Calcule o viés deste estimador.
  2. Calcule o erro quadrático médio deste estimador.
  3. Ao comparar X ^ e X ¯ , qual deles é mais indicado para estimar µ ? Justifique.
Resolução
4.

Suponha que a variável aleatória

T : t e m p o   e n t r e   c h e g a d a s   c o n s e c u t i v a s   d e   c l i e n t e s   n a   f i l a   d e   u m   b a n c o

siga distribuição Exponencial com parâmetro l â m b d a desconhecido, e tome T 1 ,   … ,   T n uma amostra aleatória de T . Denote por φ a mediana de T (lembre que ∫ - ∞ φ f t d t =   1 2 , com f t a função de densidade da v.a. T ), e seja T m d = l n 2 T ¯ um estimador de φ , em que T denota a média amostral de ( T 1 ,   … ,   T n ) .

  1. T m d é um estimador não-tendencioso para φ ? Por quê?
  2. Obtenha o erro médio quadrático de T m d como estimador de φ .
Resolução
5.

Considere uma amostra aleatória ( X 1 , X 2 , … , X n ) de uma v.a. X com distribuição normal. Mostre se a variância amostral s ² é um estimador tendencioso ou não para a variância populacional σ ² .

Lembrar que:

s 2 = ∑ x i 2 - n . x ¯ 2 n - 1

Resolução
6.

Sejam X 1 , X 2 , … , X n uma amostra aleatória da variável aleatória X com distribuição Bernoulli ( p ) .

  1. Qual a distribuição de Y = X 1 + X 2 + … + X n ?
  2. Considere os dois seguintes estimadores para p : T 1 = Y n e T 2 = Y + n 2 n + n . Esses estimadores são não tendenciosos (não viciados) para p ?
  3. Expresse o erro quadrático médio E Q M desses dois estimadores em função de n e p .
  4. Suponha n = 4 e faça um único gráfico mostrando o comportamento do E Q M em função de p para os dois estimadores.
Resolução
7.

Suponha que a variável aleatória

T : t e m p o   e n t r e   c h e g a d a s   c o n s e c u t i v a s   d e   c l i e n t e s   n a   f i l a   d e   u m   b a n c o

siga distribuição Exponencial com parâmetro l â m b d a desconhecido, e tome T 1 ,   … ,   T n uma amostra aleatória de T . Denote por φ a mediana de T (lembre que ∫ - ∞ φ f t d t =   1 2 , com f t a função de densidade da v.a. T ), e seja T m d = l n 2 T ¯ um estimador de φ , em que T denota a média amostral de ( T 1 ,   … ,   T n ) .

  1. T m d é um estimador não-tendencioso para φ ? Por quê?
  2. Obtenha o erro médio quadrático de T m d como estimador de φ .
Resolução
8.

Seja X uma v.a. com média µ e variância σ ² . Seja X 1 , … , X n uma amostra aleatória de X . A partir desta amostra aleatória, podemos construir o estimador X ^ ≔ 1 n - 1 ∑ i = 1 n X i para a média.

  1. Calcule o viés deste estimador.
  2. Calcule o erro quadrático médio deste estimador.
  3. Ao comparar X ^ e X ¯ , qual deles é mais indicado para estimar µ ? Justifique.
Resolução
9.

Para estimar a média μ de uma população, foram propostos três estimadores não viesados, μ ^ 1 , μ ^ 2 e μ ^ 3 , obtidos a partir de três amostras independentes, tal que V a r μ ^ 1 = 2   V a r μ ^ 2 = 3   V a r μ ^ 3 . Considere os seguintes estimadores ponderados de μ :

T 1 = μ ^ 1 + 2 μ ^ 2 + 3 μ ^ 3 6 ,               T 2 = 3 μ ^ 1 + 2 μ ^ 2 - μ ^ 3 4 ,               T 3 = μ ^ 1 + μ ^ 2 2

a) Determine se os estimadores T 1 , T 2 e T 3 são ou não viesados.

b) Qual estimador possui menor erro quadrático médio (EQM)?

Resolução
10.

Sejam T1 e T2 dois estimadores não tendenciosos do parâmetro θ tais que

V a r T 1 = 1 ,   V a r T 2 = 4   e   C O V T 1 , T 2 = - 1

Considere o estimador de θ definido por

T = α T 1 + 1 - α T 2 ,   α ∈ R

a) Para que valores de α, T é um estimador não tendencioso de θ?

b) Expresse a variância de T em função de α.

c) Para que valor de α, a variância de T é mínima?

Resolução
11.

Seja X uma variável aleatória com distribuição   N ( μ ,   σ ² ) , e seja ( X 1 ,   .   .   .   ,   X n ) uma amostra aleatória da variável X . Considere os seguintes dois estimadores da variância σ ² :

S ² = 1 n - 1 ∑ i = 1 n ( X i - X - ) ²       e       σ ^ ² = 1 n ∑ i = 1 n ( X i - X - ) ² ,

em que X = 1 n ∑ i = 1 n X i . Sabe-se que S ² é um estimador não-viesado para σ ² , e que V a r ( S ² )   =   2 σ 4 n - 1 .

(b) Compare os Erros Quadráticos Médios (EQM) dos estimadores S ² e σ ^ ² . Qual deles tem menor EQM?

Resolução
12.

Seja X uma variável aleatória com distribuição   N ( μ ,   σ ² ) , e seja ( X 1 ,   .   .   .   ,   X n ) uma amostra aleatória da variável X . Considere os seguintes dois estimadores da variância σ ² :

S ² = 1 n - 1 ∑ i = 1 n ( X i - X - ) ²       e       σ ^ ² = 1 n ∑ i = 1 n ( X i - X - ) ² ,

em que X = 1 n ∑ i = 1 n X i . Sabe-se que S ² é um estimador não-viesado para σ ² , e que V a r ( S ² )   =   2 σ 4 n - 1 .

(a) Calcule o viés de σ ^ ² .

Resolução
13.

Sejam   X ̄ 1 a média de uma amostra aleatória de dimensão n extraída de uma população normal de valor esperado µ e variância σ 2 1 , e   X ̄ 2 a média de uma amostra aleatória de dimensão n , independente da primeira, extraída de uma população normal de valor esperado µ e variância σ 2 2 . Mostre que:

(a) Se w   ∈ [ 0,1 ] ,   w ⋅   X ̄ 1 +   ( 1 - w ) ⋅   X ̄ 2   é um estimador não viesado de µ.

(b) A variância do estimador em (a) é mínima quando w   =   σ 2 2 σ 2 1 + σ 2 2

Resolução

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