Enunciado

Considere o Exercício 3.32.

(a) Qual é a proporção média do orçamento alocada para controles ambientais e de poluição?

(b) Qual é a probabilidade de que uma empresa selecionada aleatoriamente tenha a proporção alocada para controles ambientais e de poluição que exceda a média da população dada em (a)?

Passo 1

Fala galera, beleza? Vamos resolver mais um exercício, vem comigo!

Vamos relembrar a função densidade de probabilidade dada no exercício 3.32

f y = { 5 1 - y 4 ,     0 ≤ y ≤ 1 ,   0 ,     c a s o   c o n t r á r i o  

Com isso em mão conseguimos resolver o exercício, vamos prosseguir.

Passo 2

No item a) ele pede a proporção média, logo, estamos interessados no valor esperado E ( Y ) .

Lembrando:

E Y = ∫ - ∞ ∞ y f y d y

Vamos quebrar essa integral em outra três, usando os limites de integração adequados e substituindo os valores da função densidade de probabilidade em cada intervalo, assim:

E Y = ∫ - ∞ 0 y 0 d y + ∫ 0 1 y 5 1 - y 4 d y + ∫ 1 ∞ y 0 d y

Ou seja:

E Y = 5 ∫ 0 1 y 1 - y 4 d y

Vamos expandir e ficaremos com:

E Y = 5 ∫ 0 1 y - 4 y 2 + 6 y 3 - 4 y 4 + y 5 d y

E resolvendo a integral do polinômio, chegamos em:

E Y = 1 6

Passo 3

Agora, vamos ao item b)

Nesse item queremos P Y > 1 6 , vamos calcular:

Lembrando da fórmula para a probabilidade em variáveis continuas:

P Y > 1 6 = ∫ 1 6 1 5 y 1 - y 4 = - 1 - y 5 | 1 1 6 = 1 - 1 6 5 = 0,4019

Resposta

  1. E Y = 1 6
  2. P Y > 1 6 = 0,4019

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