Enunciado

Considere a função de densidade

f x = k x ,                       0 < x < 1 0 ,               c a s o   c o n t r á r i o

(a) Encontre o valor de k .

(b) Determine F ( x ) e use-a para avaliar P ( 0,3 < X < 0,6 )

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Para encontrarmos o valor de k , precisamos usar a seguinte fórmula:

∫ - ∞ ∞ f ( x ) d x = 1

A fórmula acima quer dizer que a probabilidade da variável aleatória X estar entre infinito e menos infinito é 1 , o que é lógico.

Agora, para determinarmos F ( x ) , que é a função de distribuição acumulada, usamos a fórmula a seguir:

F x = ∫ - ∞ x f ( x ) d x

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Usando a fórmula do Passo 1 para encontrar k .

∫ - ∞ ∞ f ( x ) d x = 1

∫ - ∞ ∞ k x d x + 0 = 1

A função que está na integral é válida no intervalo 0 < x < 1 .

k ∫ 0 1 x d x = 1

k 2 3 x 3 0 1 = 1

2 3 k = 1

k = 3 2

Passo 3

Como definimos no Passo 1, a fórmula da função de distribuição acumulada é:

F x = ∫ - ∞ x f ( x ) d x

E como a função f é 0 para x ≤ 0 , então podemos concluir que:

F x = ∫ 0 x f ( x ) d x

Calculando a função de distribuição acumulada:

F x = ∫ 0 x 3 2 x d x

= 3 2 2 3 x 3 0 1

= x 3 - 0

F x = x 3

Sendo assim, a probabilidade que o enunciado nos pediu é:

P 0,3 < X < 0,6 = P X < 0,6 - P ( X ≤ 0,3 )

= P X ≤ 0,6 - P ( X ≤ 0,3 )

= F 0,6 - F ( 0,3 )

= 0,6 3 - 0,3 3

P 0,3 < X < 0,6 = 0,3004

Resposta

a) 2 / 3

b) 0,304

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