Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica - Capítulo 6.Problemas - Ex. 10

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desse livro

Considere o lançamento de três moedas. Se ocorre o evento CCC, dizemos que temos uma seqüência, ao passo que se ocorre o evento CRC temos três seqüências. Defina a v.a. X = número de caras obtidas e Y = número de sequências, isso para cada resultado possível. Assim, X (CRR) = 1 e Y (CRR) = 2. Obtenha as distribuições de X e Y. Calcule E(X), E(Y), Var(X) e Var(Y).

Passo 1

Vamos lá! Primeiro precisamos entender o enunciado.

Como são lançadas três moedas cada uma com dois possíveis resultados (cara(C) ou coroa(R)), temos 2   × 2   × 2 = 8   possíveis eventos. Caso ocorra um evento CCC, temos uma sequência, porque não houve alternância entre cara e coroa, ou seja, saiu cara nas três moedas, ao passo que se ocorre o evento CRC, temos três sequencias, porque saiu cara, coroa e cara respectivamente, havendo essa alternância.

Inicialmente, precisamos definir nosso espaço amostral, ou seja, o conjunto de todos os eventos possíveis. Dessa forma, temos que o espaço amostral Ω é:

Ω = R R R ,   R R C ,   R C R ,   C R R ,   R C C , C R C , C C R , C C C }

Passo 2

Olhando nosso espaço amostral, podemos determinar X = número de caras obtidas e Y = número de sequências, como são 8 possíveis eventos, cada um tem probabilidade de 1/8. Assim, podemos montar a seguinte tabela:

Passo 3

Passo 4

Com base na tabela do Passo 2, podemos calcular P(X=0), P(X=1), P(X=2), P(X=3), P(Y=1), P(Y=2) e P(Y=3).

Para P(X=0): Temos apenas o evento RRR, logo P(X=0) = 1/8

Para P(X=1): Temos os eventos RRC, RCR e CRR, logo P(X=1) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8

Para P(X=2): temos os eventos RCC, CRC e CCR, logo P(X=2) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8

Para P(X=3): temos apenas o evento CCC, logo P(X=3) = 1/8

Para P(Y=1): temos os eventos RRR, CCC, logo P(X=1) = 1/8 + 1/8 =2/8

Para P(Y=2): temos os eventos RRC, CRR, RCC e CCR, logo P(X=2) = 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 4/8

Para P(Y=3): temos oss evento RCR e CRC, logo P(X=3) = 1/8 +1/8 = 2/8

Agora que nós conhecemos as probabilidades para cada valor de X e Y, fica fácil arrumarmos a tabelinha das distribuições.

Distribuição de probabilidades da v.a. X = número de caras obtidas.

Distribuição de probabilidades da v.a. Y = número de sequências.

Passo 5

Com base nas distribuições de X e Y, vamos calcular E(X), E(Y), Var(X) e Var(Y).

E X = ∑ i = 1 n x i p i = 0   × 1 8 + 1 × 3 8 + 2 × 3 8 + 3 × 1 8 = 1,5

E Y = ∑ i = 1 n y i p i = 1   × 2 8 + 2 × 4 8 + 3 × 2 8 = 2

E X 2 = ∑ i = 1 n x i 2 p i = 0 2   × 1 8 + 1 2 × 3 8 + 2 2 × 3 8 + 3 2 × 1 8 = 3

E Y 2 = ∑ i = 1 n y i 2 p i = 1 2   × 2 8 + 2 2 × 4 8 + 3 2 × 2 8 = 4,5

V a r X = E X 2 - E X 2 = 3 - 1,5 2 = 0,75

V a r Y = E Y 2 - E Y 2 = 4,5 - 2 2 = 0,5

Resposta

E X = 1,5

                      E Y = 2

                                          V a r X = 0,75

                                      V a r Y = 0,5

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