Enunciado

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Numa central telefônica, o número de chamadas chega segundo uma distribuição de Poisson, com a média de oito chamadas por minuto. Determinar qual a probabilidade de que num minuto se tenha:

(a) dez ou mais chamadas;

(b) menos que nove chamadas;

(c) entre sete (inclusive) e nove (exclusive) chamadas

Passo 1

Seja X o número de chamadas recebidas nessa central em um minuto. Pode-se dizer que X segue uma distribuição de Poisson com parâmetro λ = 8.

De modo geral, dizemos que a v.a. X tem uma distribuição de Poisson com parâmetro λ > 0 se

P X = k = e - λ λ k k ! ,   k = 0 ,   1 ,   2 ,   …

Onde,

k = número de ocorrências

e   = base dos logaritmos naturais, isto é e = 2,7182... (constante)

λ = média de ocorrências num certo intervalo

Passo 2

(a) Galera, uma SUPER DICA. Como estamos querendo calcular P ( X ≥ 10 ) de uma distribuição de Poisson, logo teríamos que calcular P X ≥ 10 = P X = 10 + P X = 11 + P X = 12 + … P X = n   com n → ∞ . WHAT???

Vamos pensar... sabemos que

∑ k = 0 n P X = k = 1

Portanto

P X = 0 + P X = 1 + P X = 2 + … + P X = n = 1

Logo

P X = 10 + P X = 11 + P X = 12 + … P X = n = 1 - [ P X = 0 + P X = 1 + P X = 2 + … P X = 9 ]

Pela fórmula da distribuição de Poisson, temos:

P X ≥ 10 = 1 - ∑ k = 0 9 e - 8 8 k k ! = 0,2834

Passo 3

(b)

P X < 9 = ∑ k = 0 8 e - 8 8 k k ! = 0 , 5925

Passo 4

(c) P 7 ≤ X < 9 = P X = 7 + P X = 8 = 0,1396 + 0,1396 = 0,2792

Resposta

(a) P(X ≥ 10 )= 0,2834

(b) P(X

(c) P(7 ≤ X

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