Responde Aí

Enunciado

Suponha que X tenha f.d.p. f(x) do Problema 1. Calcule E(X) e Var(X).

Passo 1

No problema 1 encontramos a seguinte f.d.p:

f x = 2 e - 2 x ,   s e   x ≥ 0 0 ,   s e   x < 0

Para encontrar E ( x ) utilizamos a fórmula:

E x = ∫ - ∞ ∞ x f x d x =

E como a f.d.p. tem valor nulo para x < 0 , só integraremos de 0 até :

E x = ∫ 0 ∞ x 2 e - 2 x d x

E x = 2 × ∫ 0 ∞ x e - 2 x d x

E para resolver essa integral, faremos integral por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Aonde:

u = x ∴ d u = d x

d v = e - 2 x d x   ∴ v = - 1 2 e - 2 x

Com isso, teremos:

2 × ∫ 0 ∞ x e - 2 x d x = x - 1 2 e - 2 x - ∫ 0 ∞ - 1 2 e - 2 x d x

E integrando, teremos:

= 2 - 1 2 x e - 2 x + 1 2 - 1 2 e - 2 x ∞ 0

Substituindo os limites e pondo em evidência o que dá:

= - ∞ e - ∞ + 1 2 e - ∞ - 0 e 0 + 1 2 e 0

= - ∞ e - ∞ + 0 - 0 + 1 2

= - 1 2 ∞ e - ∞ - 1 2

Para resolver ∞ e - ∞ corretamente, precisamos aplicar o limite nessa função:

lim x → ∞ ⁡ x e - x

Aqui, podemos usar a consideração de que a função exponencial cresce mais rapidamente do que a função polinomial.

Por isso, dizemos que e - x chega em 0 mais rapidamente do que x chega em ∞   ou podemos aplicar L’hopital (que é só derivar em cima e embaixo) , por isso:

lim x → ∞ ⁡ x e x = 0

Logo teremos:

= - 0 - 1 2 = 1 2

Portanto, a esperança será:

E x = ∫ - ∞ ∞ x f x d x = 1 2  

Passo 2

Para o cálculo da variância utilizamos a fórmula

V a r x = ∫ - ∞ ∞ x 2 f x d x - E x 2

Já sabemos que E x 2 = 1 2 2 = 1 4

Só falta agora resolver a seguinte integral:

∫ 0 ∞ x 2 2 e - 2 x d x =

2 ∫ 0 ∞ x 2 e - 2 x d x

Iremos integrar por partes denovo:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Aonde, usaremos:

u = x 2   ∴ d u = 2 x d x

d v = e - 2 x d x   ∴ v = - 1 2 e - 2 x

Substituindo, teremos:

2 ∫ 0 ∞ x 2 e - 2 x d x = x 2 - 1 2 e - 2 x - ∫ 0 ∞ - 1 2 e - 2 x 2 x d x

= 2 - 1 2 x 2 e - 2 x + ∫ 0 ∞ e - 2 x x d x

Essa integral é bem parecida com a integral que resolvemos na letra a ) , resolvendo-a por partes, teremos:

= 2 - 1 2 x 2 e - 2 x + x - 1 2 e - 2 x - ∫ 0 ∞ - 1 2 e - 2 x d x

Organizando:

= 2 - 1 2 x 2 e - 2 x - 1 2 x e - 2 x + 1 2 - 1 2 e - 2 x ∞ 0

E substituindo os limites de integração, teremos:

= - 2 1 2 ∞ 2 e - ∞ + ∞ e ∞ + 1 2 e - ∞ - 0 2 e 0 + 0 e 0 + 1 2 e 0

= - ∞ 2 e - ∞ + ∞ e ∞ + 0 - 0 + 0 + 1 2

E como a função exponencial vai para zero mais rapidamente que a polinomial vai para infinito, teremos:

= - 0 + 0 + 0 - 0 + 0 + 1 2

= - - 1 2 = 1 2

Portanto, a variância será:

V a r x = ∫ - ∞ ∞ x 2 f x d x - E x 2

V a r x = 1 2 - 1 4

V a r x = 1 4

E assim, fechamos essa!

Resposta

E x = 1 2   e   V a r x = 1 4

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