Enunciado

O dispositivo de armazenagem de um computador possui 10 faixas concêntricas numeradas 1, 2, ..., 10 da mais externa para a mais interna e um único braço de acesso. Seja p i = a probabilidade de certa solicitação de dados levar o braço para a faixa i ( i = 1, ...,10). Assuma que as faixas acessadas em buscas sucessivas são independentes. Seja X = número de faixas sobre as quais o braço de acesso passa durante duas solicitações sucessivas (excluindo a faixa da qual o braço acaba de sair, de forma que os valores possíveis de X são x = 0, 1, ..., 9). Calcule a fmp de X . [Sugestão: P o   b r a ç o   e s t á   n a   f a i x a   i   e   X = j = P X = j b r a ç o   e m   i ) × p i   . Após a probabilidade condicional ser expressa em termos de p 1 ,..., p 10 pela lei da probabilidade total, a probabilidade desejada é obtida pela somatória dos valores i .]

Passo 1

Fala galera, beleza? Vamos resolver mais um exercício, vem comigo!

Esse exercício parece dar um trabalhão, mas vamos juntos, nem tudo é o que parece!

Passo 2

Vamos usar a sugestão do enunciado pois ela deverá nos ajudar de alguma forma (se não o Devore só pode estar nos trollando, não é possível)

Primeiro vamos definir P X = j , que pode ser encontrada pela definição usando a somatória, assim:

P X = j = ∑ i = 1 10 P ( b r a ç o   n a   p i s t a   i   ∩ X = j )

Agora usando a informação privilegiada do enunciado, temos que:

P X = j = ∑ i = 1 10 P b r a ç o   n a   p i s t a   i   ∩ X = j = ∑ i = 1 10 P ( X = j | b r a ç o   e m   i ) p i

Reescrevendo esse termo, teremos:

P X = j = ∑ i = 1 10 P ( p r ó x i m a   b u s c a   e m   I + j + 1   o u   I - j - 1 )   p i

Reagrupando os termos:

P X = j = ∑ i = 1 10 ( p i + j + 1 + p i - j - 1 ) p i

quando p k = 0 se k < 0   o u   k > 10 .

Resposta

P X = j = ∑ i = 1 10 ( p i + j + 1 + p i - j - 1 ) p i

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