Enunciado

Considere as medidas de diâmetro de barras de suspensão descritas no Exercicie 8.34. Calcule um intervalo de previsão de 95% para o diamctro da próxima barra testada. Compare o cemprimento de intervalo de previsão com o comprimente de IC de 95% para a media da população.

Passo 1

Vamos lá pessoal, se liga aqui como que resolve essa questão:

Suponha que X 1 , X 2 , . . . ,   X n é uma amostra aleatória de uma população normal. Queremos prever o valor X n + 1 uma única observação futura. Uma previsão de X n + 1 é X ^ , a média da amostra.

Um intervalo de previsão de 100 ( 1 - α ) % (IP) em uma única observação futura de uma distribuição normal é dada por

x - - t a 2 , n - 1 s 1 + 1 n ≤ X n + 1 ≤ x - + t a 2 , n - 1 s 1 + 1 n

Sabemos que o nível de confiança é 99% e o tamanho da amostra é n = 10. Portanto,

α 2 = 1 - 0.95 2 = 0.025 t α 2 , n - 1 = t 0.025,14 = ( * ) 2.145

( * ) t α ,   n - 1 é um ponto percentual de 100 α na cauda superior da distribuição t com n - 1 graus de liberdade. Na Tabela V do Apêndice, os valores de α são os títulos das colunas, e os graus de liberdade estão listados na coluna da esquerda.

Passo 2

Do Exercício 8-37, sabemos que o desvio padrão s = 0.0253 e a média da amostra é x _ = 8.234 , então, das equações, obtemos:

8.234 - 2.145 × 0.0253 1 + 1 15 ≤ X 16 ≤ 8.234 + 2.145 × 0.0253 1 + 1 15

Portanto, um intervalo de previsão de 95% é

8.178 ≤ X 16 ≤ 8.290

Se x _ e s são a média e o desvio padrão de uma amostra aleatória de uma distribuição normal com variância desconhecida σ 2 , um intervalo de confiança 100 ( 1 - α ) % em μ   é dado por

x - - t a 2 , n - 1 s n ≤ μ ≤ x - + t a 2 , n - 1 s n

onde t α 2 , n - 1 é a porcentagem superior de 100 α 2 da distribuição t com n - 1 graus de liberdade.

Das equações, o IC de 95% da média da população é

8.234 - 2.145 0.0253 15 ≤ μ ≤ 8.234 + 2.145 0.0253 15 8.21999 ≤ μ ≤ 8.24801

Agora, das equações anteriores, concluímos que o intervalo de predição de 95% é consideravelmente maior que o intervalo de confiança de 95%. Isso ocorre porque o IC é uma estimativa de um parâmetro, mas o IP é uma estimativa de intervalo de uma única observação futura. O intervalo de predição para X n + 1 será sempre maior do que o intervalo de confiança para μ   , porque mais variabilidade está mais associada ao erro de previsão do que com o erro de estimativa.

Resposta

8.178 ≤ X 16 ≤ 8.290

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