Enunciado

Considere uma taxa de falha de um componente

elétrico a cada cinco horas. E importante considerar o

tempo que se leva para que dois componentes falhem.

(a) Assumindo que se aplica a distribuição gama, qual é

o tempo médio que se leva para que dois componentes folhem?

(b) Qual é a probabilidade de que 12 horas transcorram

antes de dois componentes falharem?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

A partir das informações, observe que um componente eletrônico com taxa de falha de uma vez a cada 5 horas.

É importante considerar o tempo que leva para 2 componentes falharem. Considere X é a variável aleatória que representa o número de horas que os componentes falharão.

a) Suponha que X segue a distribuição Gama. Ou seja, X : Gama α , 1 β A função de densidade de probabilidade da distribuição Gama é a seguinte:

f ( x ) = 1 β 2 Γ ( α ) x e - x β   x > 0 , α > 0 , β > 0

Aqui, α = número de falhas. β = taxa de falhas.

Calcule o tempo médio que leva para 2 componentes falharem. O número de falhas é, α = 2 A taxa de falha é, 1 β = 1 5 ⇒ β = 5

Portanto,

E ( X )   = α β   = 2 × 5   = 10

Passo 2

b) Calcule a probabilidade de que 12 horas se passem antes que 2 componentes falhem.

P ( X ≥ 12 ) = ∫ 12 ∞     f ( x ) d x   = ∫ 12 ∞     1 β 2 Γ ( α ) x e - x β d x   = ∫ 12 ∞     1 ( 5 ) 2 Γ ( 2 ) x e - x 5 d x   = 1 25 × ( 2 - 1 ) ! ∫ 12 ∞     x e - x 5 d x   = 1 25 - 5 ( 5 + x ) e - 1 5 12 ∞   = 1 25 - 5 ( 5 + ∞ ) e - 1 5 ( ∞ ) - - 5 ( 5 + 12 ) e - 12 5   = 1 25 ∞ + 5 ( 17 ) e - 2.4   = 85 25 e - 2.4   = 3.4 × 0.0907   = 0.3084

Resposta

Resposta nos passos.

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