Enunciado

O custo de manutenção de treminhões movidos a gasolina e a diesel são dados abaixo para duas amostras aleatórias de 10 treminhões de cada tipo. Os veículos considerados trafegam sob as mesmas condições em uma mesma área.

  1. Quais são as hipótese necessárias para construir um intervalo de confiança para a diferença das médias dos custos?

Passo 1

E aí pequenino gafanhoto, tudo certo?! Vamos jantar essa questão aqui, bora!

Bom, não sei você, mas eu achei essa alternativa A um bocado mal formulada; porque veja bem, tudo que ele ta dizendo é que devemos fazer alguma suposições e definir uma aproximação para aí então montar um intervalo de confiança.

Então vamos fazer o seguinte, vamos começar definindo quem estamos estudando:

X = C u s t o   d e   m a n u t e n ç ã o   p a r a   T r e m i n h õ e s .  

Beleza, agora supondo que as duas amostras sejam independente e que as variâncias de ambas sejam iguais.

Poderemos utilizar a seguinte aproximação:

T = X - d i e s e l - X - g a s o l i n a - μ D i e s e l - μ G a s o l i n a S c 2 1 n D + 1 n G ~ t n D + n G - 2

d i s t r i b u i ç ã o   t - s t u d e n t   c o m   n D + n G - 2 g r a u s   d e   l i b e r d a d e .

Passo 2

Tá, então vamos ver como a gente chega num intervalo de confiança:

Pela tabela de distribuição normal, sabemos que:

P T < - t α 2 ; n D + n G - 2 = P T > t α 2 ; n D + n G - 2 = α 2

Então perceba que, como o gráfico nos da a chance de termos valores extremos de forma que temos:

P T < - t α 2 ; n D + n G - 2 + P T > t α 2 ; n D + n G - 2 = α

Portanto tudo aquilo que tiver no meio tem a seguinte probabilidade de ocorrer:

P - t α 2 ; n D + n G - 2 < T < t α 2 ; n D + n G - 2 = 1 - α

Agora, se usarmos aquela aproximação dada no passo 1, substituindo T :

P - t α 2 ; n D + n G - 2 < X - d i e s e l - X - g a s o l i n a - μ D i e s e l - μ G a s o l i n a S c 2 1 n D + 1 n G < t α 2 ; n D + n G - 2 = 1 - α

Calma! Eu sei que ta feio aquilo ali! Vamos melhorar:

Vamos chamar:

D - = X - d i e s e l - X - g a s o l i n a

E

μ = μ d i e s e l - μ g a s o l i n a

Note também que n d = n g = n , vamos usar isso para deixar aquilo menos apavorante.

Passo 3

Se o enunciado pede intervalo de confiança para a diferença entre as médias, vamos isolar μ d i e s e l - μ g a s o l i n a :

P - t α 2 ; 2 n - 2 2 S c 2 n - D - < - μ < t α 2 ; 2 n - 2 2 S c 2 n - D - = 1 - α

Já melhorou né!?

Mas não se esqueça, pelo amor de tudo que é mais sagrado nesse mundo, que ainda temos o sinal de negativo ali no meio, e que quando multiplicarmos por - 1 todos os sinais mudam inclusive os da desigualdade:

P D - + t α 2 ; 2 n - 2 2 S c 2 n > μ > D - - t α 2 ; 2 n - 2 2 S c 2 n = 1 - α

Então essa é exatamente a expressão do nosso intervalo:

I C μ ; 1 - α % = D - - t α 2 ; 2 n - 2 2 S c 2 n < μ < D - + t α 2 ; 2 n - 2 2 S c 2 n

É isso, esse seria um intervalo para a diferença entre as médias populacionais.

Resposta

Consideramos as amostras independentes e com variâncias populacionais iguais, para chegar no seguinte IC:

I C μ ; 1 - α % = D - - t α 2 ; 2 n - 2 2 S c 2 n < μ < D - + t α 2 ; 2 n - 2 2 S c 2 n

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →