Enunciado

Dada uma distribuição normal padrão, determine a área abaixo da curva que fica

(a) à esquerda de z =   1,43 ;

(b) à direita de z = - 0,89 ;

(c) entre z = - 2   , 16   e   z = - 0,65 ;

(d) à esquerda de z = - 1,39 ;

(e) à direita de z   =   1   , 96 ;

(f) entre z =   - 0   , 48   e   z = 1,74 .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de probabilidade juntos?

Nosso exercício é bem teórico sobre distribuição normal padrão, então vamos com calma para fixarmos bem a teoria.

A nossa Tabela-A3 pertencente ao livro do Walpole, nos dá P Z < z :

Ou seja, dado um Z , qual a probabilidade de ele ser menor que determinado z .

Desenhando, seria algo do tipo:

Para z < 0 :

Para z > 0 :

Com isso em mente, vamos resolver os itens enunciados.

Passo 2

Comecemos pelo princípio, pelo item a)

Queremos a área abaixo da curva que fica à esquerda de z =   1,43 .

OPA! A nossa tabela nos dá exatamente a área a esquerda de um determinado   z , logo só precisamos encontrar este valor tabelado.

Para encontrá-lo, prosseguimos da seguinte maneira:

Na primeira coluna a esquerda da tabela, fixamos 1,4 (que são os dois primeiros dígitos que estamos trabalhando) e andamos em linha até 0,03, para formarmos o número 1,43.

Desse modo, obtemos:

Show, de acordo com a nossa tabela, a área à esquerda de z = 1,43 é numericamente igual a 0,9236 .

Vamos ao item b)

Neste item queremos a área a direita de z = - 0,89

De maneira clara, nós obteremos um valor na tabela para z = - 0,89 e este será numericamente igual a área A ESQUERDA DE z = - 0,89 , para encontrarmos a área a direita usaremos o seguinte fato

A r e a   t o t a l   d a   d i s t r i b u i ç ã o = 1

Logo,

P z > - 0.89 = 1 - P ( z < - 0.89 )

Agora ficou fácil, só encontrar o valor tabelado para z = - 0.89 , encontrando, temos:

P z > - 0.89 = 1 - 0.1867 = 0.8133

Show, este é o valor que encontramos para a área à direita de z = - 0,89 .

Agora vamos ao item c)

Nesse item estamos procurando a área entre z = - 2   , 16   e   z = - 0,65 ;

Em suma, queremos:

P - 2   , 16 ≤ Z ≤ - 0,65 = P Z ≤ - 0.65 - P ( Z ≤ - 2.16 )

Fazendo essa manipulação ficamos com o intervalo desejado em mãos, e com os dois valores tabelados.

Assim, substituindo os valores encontrados na tabela:

P - 2   , 16 ≤ Z ≤ - 0,65 = 0.2578 - 0.0154 = 0.2424

Passo 3

Show! A partir daqui, partiremos para o item d.

Queremos a área à esquerda de z = - 1,39 ; e como sabemos, a nossa tabela sempre fornece os valores da área à esquerda de determinado z .

Assim, encontrando o valor tabelado, temos: P Z ≤ - 1,39 = 0.0823 que é o valor da área que queremos.

Partiremos ao item e) agora.

Queremos nesse item a área à direita de z   =   1   , 96

Usaremos o mesmo truque do item b)

A r e a   t o t a l   d a   d i s t r i b u i ç ã o = 1

Logo,

P z > 1.96 = 1 - P ( z < 1.96 )

Traduzindo essa equação para o português claro: A área à direita de z = 1.96 é igual a área total da distribuição menos a área à esquerda de z = 1.96 .

A área a esquerda é um valor tabelado, logo ficamos com:

P z > 1.96 = 1 - 0.9750 = 0.0250

Que é o valor da área que queremos.

Por fim, vamos ao item f), onde é pedido a área entre z =   - 0   , 48   e   z = 1,74 .

Usaremos o mesmo truque usado no item c)

P - 0,48 ≤ Z ≤ 1,74 = P Z ≤ 1,74 - P ( Z ≤ - 0,48 )

Agora temos dois valores tabelados, substituindo os valores encontrados na tabela:

P - 0,48 ≤ Z ≤ 1,74 = 0.9591 - 0.3156 = 0.6435

Que é o valor da área que queremos.

Resposta

a) á r e a = 0,9236

b) á r e a = 0.8133

c) á r e a = 0.2424

d) á r e a = 0.0823

e) á r e a = 0.0250

f) á r e a = 0.6435

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