Enunciado

De acordo com o Teorema de Chebyshev, a probabilidade de que variável aleatória qualquer assuma um valor dentro de três desvios-padrão da média é de pelo menos 8 9 . Se sabemos que a distribuição de probabilidade da variável aleatória X é normal com média μ e variância   σ 2 , qual é o valor exato de P μ - 3 σ < X < μ + 3 σ ?

Passo 1

Fala galera, estão prontos para mais um exercício?

Vamos nessa!

Primeiro relembremos o teorema de Chebyshev.

De acordo com o teorema de Chebyshev, a probabilidade de que uma variável aleatória assuma um valor dentro de três desvios padrão da média é de pelo menos 8 9 . Se a nossa variável aleatória tiver distribuição normal, os valores de z correspondentes a x 1 = μ - 3 σ   e   x 2 = μ + 3 σ são calculados como:

z 1 = μ - 3 σ - μ σ = - 3   e   z 2 = μ + 3 σ - μ σ = 3

Passo 2

Show! Com isso em vista podemos prosseguir da seguinte maneira:

P μ - 3 σ < X < μ + 3 σ = P - 3 < Z < 3 = P Z < 3 - P ( Z < - 3 )

Que nada mais é que um truque de mágica para facilitar a nossa vida, agora os dois termos que sobram ao lado direito da equação são tabelados e basta pegar esses valores na tabela para concluir o exercício.

Passo 3

Substituindo os valores:

P μ - 3 σ < X < μ + 3 σ = P - 3 < Z < 3 = 0.9987 - 0.0013 = 0.9974

E assim, concluímos mais um exercício!

Resposta

P μ - 3 σ < X < μ + 3 σ = P - 3 < Z < 3 = 0.9974

Exercícios de Livros Relacionados

Dada a v.a. X, uniforme em (5, 10), calcule as probabilidades abaixo, usando a tabela doproblema anterior.P(X
Se X tiver distribuição uniforme com parâmetros α e β, mostre que:
Se X tiver distribuição uniforme com parâmetros α e β, mostre que:
Dada a v.a. X, uniforme em (5, 10), calcule as probabilidades abaixo, usando a tabela doproblema anterior.P(X8,5)
Complete a tabela abaixo, que corresponde a alguns valores da função: definida na seção 7.4.1, com U uma v.a. uniforme no intervalo (–1/2, 1/2).