Enunciado

O diâmetro interno terminado de um anel de pistão é distribuído normalmente com média de 10 centímetros e desvio-padrão de 0,03 centímetro.

(a) Qual é a proporção de anéis que terão diâmetro interno excedendo 10,075 centímetros?

(b) Qual é a probabilidade de que um anel de pistão tenha diâmetro interno entre 9,97 e 10,03 centímetros?

(c) Abaixo de qual valor do diâmetro interno estarão 15% dos anéis de pistão?

Passo 1

Fala galera, beleza? Vamos resolver mais um exercício? Vem comigo!

Primeiro vamos deixar claro alguns dados do exercício:

μ = 10   c e n t í m e t r o s   e   σ = 0,03   c e n t í m e t r o

Além disso vamos definir nossa variável aleatória X sendo a medida do diâmetro interno de um anel de pistão.

Show! Agora vamos resolver o item a)

Nesse item queremos P X > 10,075

Vamos relacionar X   e   Z .

Z = X - μ σ

Para X = 10,075 ,temos:

Z = 10,075 - 10 0,03 = 2,5

Então, calcular P X > 10,075   é equivalente a calcular P Z > 2,5

Usando o complementar, temos:

P Z > 2,5 = 1 - P Z < 2,5 = 1 - 0,9938 = 0,0062

Assim,

P X > 10,075 = P Z > 2,5 = 0,0062

Teremos 0,62 % dos anéis excedendo 10,075   c e n t í m e t r o s .

Passo 2

Agora vamos ao item b)

Nesse item queremos P ( 9,97 < X < 10,03 )

Vamos relacionar X   e   Z , para facilitar as nossas contas:

Z = X - μ σ

Para X = 9,97 , temos:

Z = 9,97 - 10 0,03 = - 1,0

Para X = 10,03 , temos:

Z = 10,03 - 10 0,03 = 1

Logo, calcular P ( 9,97 < X < 10,03 ) é equivalente a calcular P ( - 1 < Z < 1 ) .

Podemos calcular da seguinte maneira:

P - 1 < Z < 1 = P Z < 1 - P Z < - 1 = 0,8413 - 0,1587 = 0,6826

Ou seja,

P 9,97 < X < 10,03 = P - 1 < Z < 1 = 0,6826

Logo, a probabilidade que um anel de pistão tenha entre 9,97   e   10,03 é de 68,26 % .

Passo 3

Por último, calculemos o item c)

Precisaremos relacionar Z   e   X , logo:

Z = X - μ σ

Além disso sabemos que P Z < k = 0,15

Procurando um k na tabela que satisfaça tal condição, encontraremos que

k = - 1,04

Voltando a relação entre Z   e   X  

Fazendo Z = k

X = Z σ + μ = - 1,04 0,03 + 10 = 9,969   c e n t í m e t r o s

Resposta

a)   P X > 10,075 = P Z > 2,5 = 0,0062

b)   P 9,97 < X < 10,03 = P - 1 < Z < 1 = 0,6826

c)   X = 9,969

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