Enunciado

Dada a distribuição a seguir, pede-se construir o intervalo de confiança:

  1. para a média e para o desvio padrão reais, ao nível de significância de 2%.

Passo 1

Oi galerinha, estou animada pra fazer este exercício com vocês. Vem comigo!

O valor da probabilidade ( 1 - α ), que usualmente assume os valores 90%, 95%, 98%, etc., é denominado nível de confiança e o valor α é chamado nível de significância.

Para o intervalo de confiança da média populacional ( μ ), quando a variância populacional ( σ 2 ) é desconhecida, temos o seguinte:

X - - t α / 2 ∙ S n ≤ μ ≤ X - + t α / 2 ∙ S n

Onde a variável t possui ( n - 1 ) graus de liberdade.

Já para o intervalo de confiança para a variância ( σ 2 ) de uma população normal, temos o seguinte:

S 2 ∙ ( n - 1 ) χ s u p 2 ≤ σ 2 ≤ S 2 ∙ ( n - 1 ) χ i n f 2

Onde χ i n f 2 = χ 1 2 = χ ( 1 - α / 2 ) 2 χ s u p 2 = χ 2 2 = χ α / 2 2               , ambos para ϕ = n - 1 graus de liberdade.

Então vamos lá. Como nosso enunciado tem a nossa distribuição amostral e a frequência, conseguimos calcular X - (média da amostra) e S (desvio padrão da amostra), pelas seguintes equações:

X - = X O + h ∙ ∑ ( α i ∙ Z i ) ∑ Z i

S = h 2 n - 1 ∙ ∑ ( α i 2 ∙ Z i ) - ∑ ( α i ∙ Z i ) 2 ∑ Z i

Onde:

  • X O valor em que α i = 0 ;
  • h amplitude de classe;
  • n = ∑ Z i .
  • Sendo assim, temos os seguintes dados:

    Então:

  • X O = 1 2,2 ;
  • h = 4 ;
  • n = ∑ Z i = 15 ;
  • ϕ = 4 - 1 = 5 .

Com isso conseguimos calcular a média e o desvio padrão:

X - = 1 2,2 + 4 ∙ - 7 15 = 1 0,33

S = 4 2 15 - 1 ∙ 19 - ( - 7 ) 2 15 = 4,24

Passo 2

Agora iremos calcular o intervalo de confiança para a média. Para um nível de significância de 2% com ϕ = 1 5 - 1 = 1 4 :

t = 2,62 4

Sendo assim, para o nível de significância de 2%:

μ = 10 , 33 ± 2,62 4 ∙ 4,24 1 5

7 , 4 6 ≤ μ ≤ 1 3,20

Passo 3

Para descobrirmos o intervalo de confiança do desvio padrão, precisamos:

  • ϕ = 1 4 ;
  • α / 2 = 0,01 limite superior;
  • 1 - α / 2 = 0,99 limite inferior.

χ i n f 2 = 4,660

χ s u p 2 = 29,141

Sendo assim, para o nível de significância de 2%:

4,24 2 ∙ ( 1 5 - 1 ) 29,141 ≤ σ ≤ 4,24 2 ∙ ( 1 5 - 1 ) 4,660

2,94 ≤ σ ≤ 7,35

Tchau galerinha! Te espero em mais exercícios.

Resposta

  • 7,46 ≤ μ ≤ 13,20 ;
  • 2,94 ≤ σ ≤ 7,35 .

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