Enunciado

Os dados a seguir sobre y concentração de glucose (g/L) e x tempo de fermentação (dias) para uma determinada mistura de licor de malte foram reproduzidos de um gráfico do artigo “Improving Fermentation Productivity with Reverse Osmosis” (Food Tech., 1984, p. 92–96):

a. Verifique se o gráfico de dispersão dos dados é consistente com a escolha do modelo de regressão quadrática. b. A equação de regressão quadrática estimada é y 84,482 15,875x 1,7679x2 . Preveja o valor da concentração de glucose para um tempo de fermentação de 6 dias e calcule o resíduo correspondente. c. Usando SQE 61,77, que proporção da variação observada pode ser atribuída à relação de regressão quadrática? d. Os n 8 resíduos padronizados, baseados no modelo quadrático, são 1,91, 1,95, 0,25, 0,58, 0,90, 0,04, 0,66 e 0,20. Construa um gráfico dos resíduos padronizados versus x e um gráfico de probabilidade normal. Os gráficos exibem alguma característica indesejável? e. O desvio padrão estimado de ˆY6 — isto é, ˆ 0 ˆ 1(6) ˆ 2(36) — é 1,69. Calcule um IC de 95% para Y6. f. Calcule um IP de 95% para uma observação sobre concentração de glicose feita seis dias depois do tempo de fermentação.

Passo 1

  1. O gráfico de dispersão sugere que a regressão quadrática pode ser apropriada
  2. A partir do modelo de regressão quadrática estimado, a previsão quando x * = 6 , é
  3. Os valores ajustados y 1 ^ ,   y 2 ^ , … ,   y ^ n são valores obtidos substituindo   x 1 , x 2 , … , x n na linha de regressão. Os residuais são a diferença entre os valores observados e ajustados.

    O resíduo é

    y 6 - y 6 ^ = 53 - 52.88 = 0.12

    Passo 2

  4. O coeficiente de determinação, r², é
  5. r 2 = 1 - S S E S S T

    A soma total dos quadrados é

    A soma total dos quadrados é

    Assim, o coeficiente de determinação, ou a proporção de variação observada atribuída à regressão, é

    Passo 3

  6. A tabela a seguir resume o valor necessário para calcular o gráfico de probabilidade normal
  7. O gráfico de probabilidade normal sugere que os dados são normalmente distribuídos

    A partir do padronizado pode-se ver que não há outliers, e que nenhum dos resíduos excede dois em magnitude.

  8. Um intervalo de confiança de % 100 ( 1 - α ) % para a média de YY quando x = x *
  9. Onde

    e onde s Y ^ é o desvio padrão estimado de   μ ^ Y ∙ x * .

    Do exercício (b), quando x * =   6 , o valor ajustado é

    y ^ = 52.88

    e o desvio padrão estimado do valor ajustado (dado no exercício) é

    s Y ^ = 1.69

    A partir da tabela no apêndice pode-se encontrar o valor t

    Um intervalo de confiança de 100 1 - α % para a média de Y quando x * =   6 é

  10. Intervalo de previsão

Onde

e onde s Y ^ é o desvio padrão estimado de   μ ^ Y x * é um intervalo de previsão de 100(1−α)% para uma observação futura Y, quando x = x * .

Como acima, quando x * =   6 , o valor ajustado é

y ^ = 52.88

e o desvio padrão estimado do valor ajustado é

s Y ^ = 1.69

A partir da tabela no apêndice pode-se encontrar o valor t

A estimativa do desvio padrão σ é

assim, um intervalo de previsão de 99% para observação futura quando x * =   7 é

Resposta

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