Enunciado

Um estudo sobre as propriedades das vigas de conexão por chapa metálica para serem usadas como suporte de telhados ("Modeling Joints Made with Light-Gauge Metal Connector Plates", Forest Products J., 1979, p. 39-44) apresentaram as seguintes observações sobre o índice de rigidez axial (kips/in.) para chapas de 4, 6, 8, 10 e 12 pol. de comprimento:

A variação no comprimento da chapa tem algum efeito sobre a rigidez axial média real? Expresse e teste as hipóteses relevantes, usando análise de variância com α = 0.01. Apresente seus resultados em uma tabela ANOVA. (Sugestão: x 2 ij 5.241, 420,79.

Passo 1

Note que primeiro temos

I = 5 ,   c o l u n a s - t r a t a m e n t o s   g e r a l m e n t e   e s t ã o   e m   l i n h a s

E

J = 7 ,   l i n h a s   -   a m o s t r a s   d e   c a d a   t i p o

A tabela a seguir precisa ser preenchida com os valores correspondentes:

Os graus de liberdade são

I - 1 = 5 - 1 = 4

I J - 1 = 5 7 - 1 = 30

I J - 1 = 5 ∙ 7 - 1 = 34

Temos que

x i .   =   ∑ j = 1 J x i j ;

x . .   =   ∑ i = 1 I ∑ j = 1 J x i j .

A soma total dos quadrados (SST), tratamento soma de quadrados (SSTr), e erro soma dos quadrados (SSE) são dados por

S S T =   ∑ i = 1 I ∑ j = 1 J x i j - x - . . 2 =   ∑ i = 1 I ∑ j = 1 J x i j 2 - 1 I ∙ J x 2 . .

Passo 2

Os quadrados médios são

M S T r = 1 I - 1 S S T r ;

M S E = 1 I J - 1 S S E

F é a razão dos dois quadrados médios

F = M S T r M S E

Calcule todos os valores um por um. Ao somar as colunas correspondentes (geralmente linhas), valores de x i são

x 1 .   = 309.20 + 409.50 + … + 309.70 = 2332.50 ;

x 2 .   = 402.10 + 347.20 + … + 381.70 = 2576.40 ;

x 3 .   = 392.40 + 366.20 + … + 382.00 = 2625.90 ;

x 4 .   = 346.70 + 452.90 + … + 362.60 = 2851.50 ;

x 5 .   = 407.40 + 441.80 + … + 465.80 = 3060.20 ;

Passo 3

Valores de x i - .   = 1 J x i são dados por

A grande média x - . . é

x - . .   = 1 I J ∙ x . .   = 1 I J ∑ i = 1 I ∑ j = 1 J x i j = 1 5 ∙ 7 309.20 + 409.50 + … + 441.20 + 465.80

= 384.19 ,

E

x . .   =   ∑ j = 1 J x i j = 309.20 + 409.50 + … + 441.20 + 465.80 = 13446.50

O SST é

O SSTr

A identidade fundamental:

S S T = S S T r + S S E

A soma dos quadrados do erro é

S S E = S S T - S S T r = 75467.58 - 43992.549 = 31475.03

A soma dos quadrados do erro é

M S T r = 1 I - 1 S S T r = 1 4 43992.549 = 10998.134 ;

M S E = 1 I J - 1 S S E = 1 5 7 - 1 3145.03 = 1049.168

O valor da estatística F é

f = M S T r M S E = 10998.134 1049.168 = 10.483

A tabela ANOVA agora se torna

Quanto aos testes usuais, você pode tirar conclusões sobre as hipóteses observando o valor crítico de F ou um valor de P. Lembre-se que as hipóteses de interesse são

H 0   :   μ i =   μ j ,   i ≠ j

Versus a hipótese alternativa

H a   : p e l o   m e n o s   d o i s   d o s   μ i   s e r e m   d i f e r e n t e s

O valor P é a área à direita do valor f sob a curva F onde F tem distribuição de Fisher com graus de liberdade 4 e 30; portanto

P = P F > f = P F > 10.483 = 0 ,   e x a c t a m e n t o : 0.00001962

que foi calculado usando software (você pode estimá-lo usando a tabela no apêndice). Porque

P = 0 <   α

rejeitar hipótese nula em determinado nível de significância. Não há diferença estatisticamente significativa nas médias verdadeiras entre os cinco comprimentos. A variação no comprimento da placa não tem nenhum efeito na rigidez axial média real.

Usando a tabela, você pode usar, por exemplo, valor F 0,1 , 3,36 para o qual a área sob a curva FF à direita de F 0,1 , 3,4 é 0,1. O valor é

F 0.1,4 , 30 = 2.142 < 10.483 = f

que indica rejeitar a hipótese nula.

Resposta

Exercícios de Livros Relacionados

Repita o Exercício 12, supondo x2 502,8 e x3 427,5
Para uma ANOVA de fator único com tamanhos das amostras Ji (i 1, 2, . . . , I), demonstre que
A quantidade de luz produzida (lúmen) foi determinada para cada uma das I = 3 diferentes marcas de lâmpadas incandescentes brancas de 60 watts, com J = 8 lâmpadas de cada marca testada. As somas de qu
Refira-se ao Exercício 19 e considere x 1 10, x 2 15, e x 3 20. Será que agora você conseguiria encontrar um valor de SQE que gere uma contradição desse tipo entre o teste F e o procedimento de Tukey?
Reconsidere o Exemplo 10.7 sobre a investigação dos efeitos de diferentes tratamentos térmicos sobre o ponto de ruptura de barras de aço. a. Se J 8 e 1, qual é o para um nível de teste F de 0,05 quand