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Exercícios Resolvidos de Bussab - Estatística Básica

Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica - 12.Problemas - 1a

Para decidirmos se os habitantes de uma ilha são descendentes da civilização A ou B,

iremos proceder do seguinte modo:

(i) selecionamos uma amostra de 100 moradores adultos da ilha, e determinamos a altura

média deles;

(ii) se essa altura média for superior a 176, diremos que são descendentes de B; caso

contrário, são descendentes de A.

Os parâmetros das alturas das duas civilizações são:

A : μ = 175     e   σ = 10

B : μ = 177   e   σ = 10

Definamos:

E r r o   d e   t i p o   I — dizer que os habitantes da ilha são descendentes de B quan-

do, na realidade, são de A.

E r r o   d e   t i p o   I I — dizer que são de A quando, na realidade, são de B.

  1. Qual a probabilidade do   e r r o   d e   t i p o   I ? E do e r r o   d e   t i p o   I I   ?

Passo 1

Considerando que a variável X = a l t u r a   d o s   h a b i t a n t e s seja normalmente distribuída.

È interessante termos em mente a seguinte aproximação:

Z = X - - μ σ 2 n ~ N 0,1

Das definições dos erros, podemos ter o seguinte teste de hipótese:

H 0 : μ ≤ 176       e       H 1 : μ > 176

E Temos a seguinte região crítica: R C = ] 176   ;   + ∞ [

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Passo 2

α = P E r r o   t i p o   I = P r e j e i t a r   H 0 H 0   é   v e r d a d e i r a = P X - > 176 X ~ N 175   ; 10 2 =

P X - - μ σ 2 n > 176 - μ σ 2 n = P Z > 176 - 175 10 2 100 = P Z > 1 = 0,5 - 0,34134 = 0,15866

Passo 3

β = P E r r o   t i p o   I I = P a c e i t a r   H 0 H 0   é   f a l s a ) = P ( X - ≤ 176 | X ~ N 177   ; 10 2 =

P Z ≤ - 1 = 0,5 - 0,34134 = 0,15866

Resposta

  1. α = β = 15,87 %

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