Enunciado

Se X ~ N μ , σ 2 , com densidade f x dada por ( 7.17 ) , provemos que a integral I = ∫ - ∞ ∞ f x d x = 1 .

Passo 1

Como esta integral é sempre positiva, mostremos que I 2 = 1 . Novamente, como no Problema 32 , fazemos a transformação x = μ + σ × t e obtemos I 2 = 1 2 π × ∬ e - t 2 + s 2 2 d s d t ,   onde os limites de integração são - ∞ e ∞ . Agora fazemos outra transformação, passando de coordenadas cartesianas para polares: s = r × c o s θ ,   t = r × s e n θ , de modo que d s d t = r × d r d θ . Segue-se, integrando primeiro com relação a r   e depois com relação a θ , que:

I 2 = 1 2 π × ∫ 0 2 π ∫ 0 ∞ e - r 2 2 × r   d r d θ = 1 2 π × ∫ 0 2 π - e - r 2 2 0 ∞ d θ = 1 2 π × ∫ 0 2 π d θ = 1 .    

Resposta

Logo,

I 2 = 1 2 π × ∫ 0 2 π ∫ 0 ∞ e - r 2 2 × r   d r d θ = 1 2 π × ∫ 0 2 π - e - r 2 2 0 ∞ d θ = 1 2 π × ∫ 0 2 π d θ = 1 .    

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O consumo de gasolina por k m rodado, para um certo tipo de carro, em determinadas condições de teste, tem uma distribuição normal de média 100m i l e desvio padrão 5m i l . Calcular a probabilidade d
Um produto é acondicionado em pacotes com peso médio de 200 g . Os pacotes são colocados em caixa de madeira com 50 pacotes cada uma. A caixa vazia pesa em média 1k g , com desvio padrão de 50g . Veri
Numa comunidade verificou-se que a altura das pessoas tem uma distribuição normal de média 170c m e desvio padrão 10c m . Calcular:a) a porcentagem de pessoas medindo mais que 180c m ; b) a probabilid
Verificou-se que o tempo necessário para fabricar um tipo de peça tem uma distribuição normal de média 60 s e desvio padrão 5 s . Calcule a probabilidade de:a) uma peça gastar mais que 50 s para ser f
Certos amortecedores fabricados por uma empresa têm uma vida média de 800 dias e desvio padrão de 60 dias. Determinar a probabilidade de uma amostra aleatória de 16 amortecedores, retirados do grupo,