Enunciado

Distribuição de Pascal. Considere a mesma situação experimental do Problema 55 , só que agora o experimento é continuado até que o evento A ocorra pela r-ésima vez. Defina a v.a. Y   = número de repetições necessárias para que A ocorra exatamente r vezes. Note que, se r   =   1 , obtemos a distribuição geométrica. Mostre que:

P Y = j = j - 1 r - 1 × p r × q j - r ,   j = r ,   r + 1 ,   …

Passo 1

Vamos começar notando que Y = j , se e somente se, no j - ésimo experimento ocorra o evento A e nos j - 1 experimentos anteriores, obtemos r - 1 eventos   A C (ou seja, não ocorra o evento A ).

O número de formas de acontecer isso é simples: escolher r - 1 resultados para o evento   A C , entre j - 1 resultados possíveis, ou seja, temos j - 1 r - 1 possibilidades.

Resposta

Como em um total de j   lançamentos, obtemos r eventos   A C e j - r eventos A , e temos   j - 1 r - 1 possibilidades, a probabilidade é dada por:

P Y = j = j - 1 r - 1 × p r × 1 - p j - r ,   j = r ,   r + 1 ,   ⋯ ,

Como queríamos demonstrar.

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