Enunciado

Deseja-se obter uma estimativa de intervalo de confiança para o ganho em um circuito de um dispositivo semicondutor. Suponha que o ganho seja normalmente distribuído com desvio-padrão σ = 20 .

(a) Encontre um IC de 95%

(b) Encontre um IC de 95 %

(c) Encontre um IC de 99%.

(d) Encontre um IC de 99%

(e) Como o comprimento dos ICs calculados anteriormente variam com as mudanças no tamanho da amostra e no nível de confiança?

Passo 1

Vamos lá pessoal, se liga aqui como que resolve essa questão:

Se  x _   é a média da amostra com tamanho n de uma variável aleatória de uma população normal com uma variância de σ 2 , e um IC de 100 ( 1 - α ) % onde μ é dado por:

x _ - z α 2 σ n ≤ μ ≤ x _ + z α 2 σ n

Onde   z α 2 é o ponto percentual superior de 100 α 2 da distribuição normal padrão.

Sabemos que o desvio padrão é s = 20

Passo 2

Letra a:

Temos um IC de 95% com n = 10 e x ̄ = 1000 . Portanto,

α 2 = 1 - 0.95 2 = 0.025 ⇒ z α 2 = 1.96

A implicação anterior foi obtida com base na Tabela III, Distribuição Cumulativa normal padrão. Dessas duas equações obtemos

1000 - z 0.025 20 10 ≤ μ ≤ 1000 + z 0.025 20 10 1000 - 1.96 × 6.32 ≤ μ ≤ 1000 + 1.96 × 6.32

Portanto, IC 95% para μ   é

987.6 ≤ μ ≤ 1012.4

Passo 3

Letra b:

Temos 95% de IC com n = 25 e x ̄ = 1000 . Portanto,

α 2 = 1 - 0.95 2 = 0.025 ⇒ z α 2 = 1.96

Da primeira equação e dessa, temos:

1000 - z 0.025 20 25 ≤ μ ≤ 1000 + z 0.025 20 25 1000 - 1.96 × 4 ≤ μ ≤ 1000 + 1.96 × 4

Portanto, IC 95% para μ   é:

992.16 ≤ μ ≤ 1007.84

Passo 4

Letra c:

Temos um IC de 99% com n = 10 e x ̄ = 1000 . Portanto

α 2 = 1 - 0.99 2 = 0.005 ⇒ z a 2 = 2.57

Dessa equação temos:

1000 - z 0.005 20 10 ≤ μ ≤ 1000 + z 0.005 20 10 1000 - 2.57 × 6.32 ≤ μ ≤ 1000 + 2.57 × 6.32

Portanto, IC de 99% para μ é:

983.76 ≤ μ ≤ 1016.24

Passo 5

Letra d:

Temos um IC de 99% com n = 25 e x ̄ = 1000 . Portanto

α 2 = 1 - 0.99 2 = 0.005 ⇒ z a 2 = 2.57

Dessa equação temos:

1000 - z 0.025 20 25 ≤ μ ≤ 1000 + z 0.025 20 25 1000 - 2.57 × 4 ≤ μ ≤ 1000 + 2.57 × 4

Portanto, IC de 99% para μ é:

989.72 ≤ μ ≤ 1010.28

Passo 6

Letra e:

De a e b, concluímos que o comprimento dos ICs diminui com aumento de tamanho das amostras.

A partir de a e c ou b e d concluímos que o comprimento dos ICs aumenta com o aumento do nível de confiança.

Resposta

  1. 987.6 ≤ μ ≤ 1012.4
  2. 992.16 ≤ μ ≤ 1007.84
  3. 983.76 ≤ μ ≤ 1016.24
  4. 989.72 ≤ μ ≤ 1010.28
  5. Ver resolução
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