Enunciado

A Desigualdade de Jensen.

Passo 1

Vimos, na fórmula ( 6.4 ), que se h ( x ) = a x + b , então E [ h ( X ) ] = h [ E ( X ) ] , ou seja, E ( a X + b ) = a E ( X ) + b .

Esta fórmula pode não valer se h ( x ) não for linear. O que vale é o seguinte resultado, denominado Desigualdade de Jensen. Se h(x) for uma função convexa e X uma v.a., então:

E [h (X)] >= h [E (X)] ,

Com igualdade se e somente se h for linear (ou se a variância de X for zero).

Passo 2

Por exemplo, se h ( x ) = x^2 , então E (X^2) >= [E (X)]^2 , do que decorre que V a r (X) = E (X^2) – [E (X)]^2 >= 0 .

Lembremos que uma função h é convexa se h ((x + y)/(2)) <= (h (x) + h (y))/(2) , para todo par x , y no domínio de h . Em termos geométricos, h é convexa se o ponto médio da corda que une dois pontos quaisquer da curva representando h está acima da curva.

Resposta

Assim, concluímos o resultado.

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