Enunciado

A Desigualdade de Jensen.

Passo 1

Vimos, na fórmula ( 6.4 ), que se h ( x )   =   a x   +   b , então E [ h ( X ) ]   = h [ E ( X ) ] , ou seja, E ( a X   +   b )   =   a E ( X )   +   b .

Esta fórmula pode não valer se h ( x )   não for linear. O que vale é o seguinte resultado, denominado Desigualdade de Jensen. Se h(x) for uma função convexa e X uma v.a., então:

E h X ≥ h E X ,

Com igualdade se e somente se h for linear (ou se a variância de   X for zero).

Passo 2

Por exemplo, se h ( x )   =   x 2 , então E X 2 ≥   E X 2 , do que decorre que V a r X =   E X 2 – E X 2 ≥ 0 .

Lembremos que uma função h é convexa se h x   +   y 2 ≤ h x +   h y 2 , para todo par x , y no domínio de h . Em termos geométricos,   h   é convexa se o ponto médio da corda que une dois pontos quaisquer da curva representando h está acima da curva.

Resposta

Assim, concluímos o resultado.

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