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Determine a função de distribuição cumulativa para a distribuição no Exercício 4-6. Use a função de distribuição cumulativa para determinar a probabilidade de um componente resistir mais de 3000 horas antes da fratura.

Passo 1

A função de densidade de probabilidade f da variável aleatória X é dada no exercício 4-8:

f ( x ) = e - x / 1000 1000 ,   x > 0

f ( x ) = 0 ,   x ≤ 0

Vamos calcular para x > 0 :

P ( X ≤ x ) = ∫ 0 x e - y / 1000 1000 d y =   - ∫ 0 x e - y / 1000 d - y 1000 = 1 - e - x / 1000

Passo 2

Agora, vamos calcular a função de distribuição cumulativa pela definição:

F ( x ) = P ( X ≤ x ) = ∫ - ∞ x f ( u ) d u para - ∞ < x < ∞

Agora podemos escrever a função de distribuição cumulativa:

F ( x ) = 0 ,   x ≤ 0

F ( x ) = 1 - e - x / 1000 ,   x > 0

Passo 3

Para mais de 3000 horas antes da fratura, vamos usar de novo a função de distribuição cumulativa:

P ( X > 3000 ) = 1 - P ( X ≤ 3000 ) = 1 - F ( 3000 ) = 1 - 1 + e - 3000 / 1000 = e - 3 = 0.049787

Resposta

F ( x ) = 0 ,   x ≤ 0

F ( x ) = 1 - e - x / 1000 ,   x > 0

0.049787

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