Enunciado

Os dígitos sucessivos em uma expansão decimal de π se comportam como se fossem selecionados de uma tabela de números aleatórios (ou provenientes de um computador gerador de números aleatórios)?

a. Represente por p 0 a grande quantidade de dígitos na expansăo como igual a 0 e defina p 1 , … , p 9 de maneira semelhante. Qual hipótese a respeito destas proporções deve ser testada, e qual é o gl para o teste qui-quadrado?

b. H 0 da parte (a) não deve ser rejeitado para a sequência não-aleatória 012 … 901 … 901 … . . . Considere grupos não-sobrepostos de dois dígitos e represente por p i j a grande proporção de grupos para os quais o primeiro dígito é i e o segundo dígito é j . Qual hipótese sobre estas proporçōes deve ser testada, e qual é o gl para o teste qui-quadrado?

c. Considere grupos não-sobrepostos de 5 dígitos. Um teste qui-quadrado de hipótese apropriada sobre os p ingamus  s pode ser baseado nos primeiros 100.000 dígitos? Explique.

d. O artigo "Are the Digits of π an Independent and Identically Distributed Sequence?" (The American Statistician, 2000, p. 12-16) considerou os primeiros 1.254.540 dígitos de π e informou os seguintes valores P para tamanhos de grupo de 1 , ..., 5: 0,572; 0,078; 0,529; 0,691; 0,298. O que você poderia concluir?

Passo 1

E aí pessoal partiu para mais uma questão de (probabilidade)? Abaixo começaremos trazendo algumas informações do enunciado:

Represente por p 0 a grande quantidade de dígitos na expansăo como igual a 0 e defina p 1 , … , p 9 de maneira semelhante. Qual hipótese a respeito destas proporções deve ser testada, e qual é o gl para o teste qui-quadrado?

a.  H o : p 0 = p 1 = … = p 9 = . 10 v s H a  : pelo menos um  p i  ?.10, com  d f = 9 .

Passo 2

H 0 da parte (a) não deve ser rejeitado para a sequência não-aleatória 012 … 901 … 901 … . . . Considere grupos não-sobrepostos de dois dígitos e represente por p i j a grande proporção de grupos para os quais o primeiro dígito é i e o segundo dígito é j . Qual hipótese sobre estas proporçōes deve ser testada, e qual é o gl para o teste qui-quadrado?

b.  H a : p i j = . 01  para  I  e  j = 1,2 , … , 9  vs  H a  : pelo menos um  p i j ? 0 , com  d f = 99 .

Passo 3

. Considere grupos não-sobrepostos de 5 dígitos. Um teste qui-quadrado de hipótese apropriada sobre os p ingamus  s pode ser baseado nos primeiros 100.000 dígitos? Explique.

c. Para este teste, o número de p's na Hipótese seria 10 5 = 100,000 (o número de combinações possíveis de 5 dígitos). Usando apenas os primeiros 100.000 dígitos na expansão, o número de grupos não sobrepostos de 5 é de apenas 20.000 . Precisamos de um tamanho de amostra muito maior!

Passo 4

. O artigo "Are the Digits of π an Independent and Identically Distributed Sequence?" (The American Statistician, 2000, p. 12-16) considerou os primeiros 1.254.540 dígitos de π e informou os seguintes valores P para tamanhos de grupo de 1 , ..., 5: 0,572; 0,078; 0,529; 0,691; 0,298. O que você poderia concluir?

d. Com base nesses valores de p, podemos concluir que os dígitos de p se comportam como se fossem gerados aleatoriamente.

Resposta

a. d f = 9 .

b. d f = 99 .

c. Precisamos de um tamanho de amostra muito maior!

d. Com base nesses valores de p, podemos concluir que os dígitos de p se comportam como se fossem gerados aleatoriamente.

Espero que tenham aprendido com essa questão, até a próxima !

Exercícios de Livros Relacionados

Teste se os dados do CD-Notas são normais. Use o teste de aderência e o teste deKolmogorov-Smirnov.
Teste, para o nível α=0,05 , que os dados abaixo são de uma amostra de uma distribuição uniforme no intervalo ( 0,1 ) .
Prove que ( 14.3 ) pode ser escrita na formachi^2 = sum_(i = 1)^S O_i^2 // E_i - n
Deseja-se verificar se o modelo Uniforme Discreto com valores de 0 a 5 pode ser usado para modelar o número de reclamações que chegam por hora a uma Central de Atendimento ao consumidor. O sorteio de
Uma indústria registra, em cada semana, o número de dias em que ocorrem acidentes de trabalho. Para uma amostra de 200 semanas, verifique se os dados apresentados a seguir, aderem ao modelo Binomial c