Enunciado

De uma distribuição normal com σ 2 = 2,25 obteve-se a seguinte amostra: 27,5; 25,6; 28,2; 26,1; 25,0. Determinar o intervalo de confiança para a média populacional aos níveis de significância de 5% e 1%.

Passo 1

Oi galerinha, estou animada pra fazer este exercício com vocês. Vem comigo!

Vamos relembrar que o intervalo de confiança é um intervalo em torno da estimativa por ponto, de modo que esse intervalo tenha uma probabilidade conhecida (que é designada por 1 - α ) de conter o verdadeiro valor do parâmetro. O valor da probabilidade ( 1 - α ), que usualmente assume os valores 90%, 95%, 98%, etc., é denominado nível de confiança e o valor α é chamado nível de significância. Onde:

Pela construção da figura acima, temos:

- z α / 2 ≤ z ≤ z α / 2

- z α / 2 ≤ X - - μ σ / n ≤ z α / 2

O intervalo de confiança para a média populacional ( μ ), quando a nossa variância populacional ( σ 2 ) é conhecida:

X - - z α / 2 ∙ σ 2 n ≤ μ ≤ X - + z α / 2 ∙ σ 2 n

Onde z α / 2 pode ser obtido na tabela da distribuição normal padronizada.

No nosso exercício queremos o nível de significância 5% e 1%. Ou seja, queremos o nível de confiança de 0,95 e 0,99, e pela tabela de distribuição normal reduzida, temos:

α = 0,05 → z α / 2 = 1,96

α = 0,01 → z α / 2 = 2,575

E para calcular o intervalo de confiança, precisamos calcular a média amostral:

X - = ∑ X i n = 27,5 + 25,6 + 28,2 + 26,1 + 25,0 5 = 26,48

Passo 2

Então temos os seguintes dados:

  • σ 2 = 2,25 ;
  • z 0,05 / 2 = 1,96 ;
  • z 0,01 / 2 = 2,575 ;
  • X - = 26,48 .

Sendo assim, para o nível de significância de 5%:

μ = 26,48 ± 1,96 ∙ 2,25 5

25,17 ≤ μ ≤ 27,79

Passo 3

E para o nível de significância de 1%:

μ = 26,48 ± 2,575 ∙ 2,25 5

24,75 ≤ μ ≤ 28,21

Tchau galerinha! Te espero em mais exercícios.

Resposta

  • 5%: 25,17 ≤ μ ≤ 27,79 ;
  • 1%: 2 4 , 7 5 ≤ μ ≤ 2 8 , 21 .

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