Enunciado

Numa amostra de 20 elementos de uma população normal obteve-se variância de 25. Ao nível de 10%, testar: σ 2 = 16 , contra σ 2 ≠ 16 .

Passo 1

Olá galerinha, vamos resolver este exercício de acordo com o passo a passo dos testes de hipóteses.

Então primeiramente iremos definir nossa hipótese nula ( H 0 ) e alternativa ( H a ):

  • H 0 :   σ 2 = 16 ;
  • H a :   σ 2 ≠ 16 .

Pelo enunciado sabemos que α = 0,10 , e como iremos testar a variância, iremos usar o teste qui-quadrado ( χ 2 ), com n - 1 graus de liberdade.

Para este teste temos a seguinte equação:

χ 2 = ( n - 1 ) ∙ S 2 σ 0 2

Onde:

  • n tamanho da amostra;
  • S 2 variância amostral;
  • σ 0 2 valor da hipótese nula.

Passo 2

Então com os seguintes dados:

  • n = 2 0 ;
  • ϕ = 20 - 1 = 19 ;
  • α / 2 = 0,05 limite superior;
  • 1 - α / 2 = 1 - 0,0 5 = 0,95 limite inferior.

E pela tabela da distribuição qui-quadrado, conseguimos definir nossa região crítica:

χ i n f 2 = 1 0,117

χ s u p 2 = 3 0,144

  • Se χ 2 > 30,144 ou χ 2 < 10,117 rejeita H 0 ;
  • Se 10,117 < χ 2 < 30 , 144 aceita H 0 .

Passo 3

Então por último, conseguimos calcular o valor de χ 2 e comparar com nossa região crítica, do enunciado sabemos:

  • S 2 = 25 ;
  • σ 0 2 = 16 .

Logo:

χ 2 = ( 20 - 1 ) ∙ 25 16 = 29,7

Como 10,117 < χ 2 < 30,144 , então aceitamos H 0 .

Tchau galerinha! Te espero em mais exercícios.

Resposta

χ 2 = 29,7 aceita H 0 .

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