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Distribuição de Weibull. Um modelo que tem muitas aplicações na teoria da confiabilidade é o modelo de Weibull, cuja f.d.p. é dada por:

f x = ∝ β x β - 1 e - α x β ,   x ≥ 0 0 ,                                                       x < 0 ,

Onde α e   β são constantes positivas. A v.a. X pode representar, por exemplo, o tempo de vida de um componente de um sistema.

  1. Se β   =   1 , qual a f.d.p. resultante?
  2. Obtenha E ( X ) para β   =   2 .

Passo 1

O Modelo de Weibull tem a seguinte f.d.p.:

f x = α × β × x β - 1 × e - α × x β ,   x ≥ 0 0 ,   x < 0

Se β = 1 , então:

f x = α × 1 × x 1 - 1 × e - α × x 1 ,   x ≥ 0 0 ,   x < 0

= α × e - α × x ,   x ≥ 0 0 ,   x < 0 .

Que é a função densidade de probabilidade de uma distribuição exponencial.

Passo 2

O Modelo de Weibull tem a seguinte f.d.p.:

f x = α × β × x β - 1 × e - α × x β ,   x ≥ 0 0 ,   x < 0

Se β = 2 , então:

f x = 2 × x × e - 2 × x ,   x ≥ 0

Assim,

E X = 2 × ∫ 0 ∞ x 2 × e - 2 × x d x = - e - 2 × x × x 2 - e - 2 × x × x - 1 2 × e - 2 × x + C

= 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - - 1 2 = 1 2 .

Resposta

Assim, concluímos o exercício.

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