Enunciado

Dois professores diferentes enviaram suas provas finais para tiragem de cópias. Seja X o número de erros tipográficos na prova do primeiro professor e Y o número de tais erros para o segundo professor. Suponha que X tenha distribuição de Poisson com parâmetro λ , Y tenha distribuição de Poisson com parâmetro θ e que X e Y sejam independentes.

a. Qual é a fmp conjunta de X e Y ?

b. Qual é a probabilidade de no máximo um erro ser cometido em ambos os exames combinados?

c. Obtenha a expressão geral para a probabilidade de o número total de erros nos dois exames ser m (onde m é um inteiro não-negativo). [Sugestão: A = x , y : x + y = m = m ,   0 , m - 1 ,   1 , … , 1 , m - 1 ,   ( 0 , m ) . Agora some a fmp conjunta em ( x , y ) ∈ A e use o teorema binomial, que diz

∑ k = 0 m m k a k b m - k = a + b m  

Para qualquer a , b .]

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Aqui vamos usar alguns conceitos que já estamos nos acostumando, vamos organizar as informações e bora fazer os cálculos!!!

Passo 2

Para definirmos se duas variáveis são independentes, a seguinte relação tem que ser verdadeira.

p x , y = p X ( x ) ∙ p Y ( y )

No nosso exemplo temos os seguintes valores:

p X x ∙ p Y y = e - μ 1 μ 1 x x ! ∙ e - μ 1 μ 1 x y !

p x , y = 0

Como não são iguais, as variáveis são dependentes.

Logo,

f x ,   y = e - μ 1 μ 1 x x ! ∙ e - μ 1 μ 1 x y !                                             x ,   y ∈ N 0 0                                                                             c a s o   c o n t r á r i o

Passo 3

Para determinar se um ou menos erro deve ser cometido em ambos os exames combinados, devemos olhar para a soma das duas variáveis ​​aleatórias. Assim, vale o seguinte:

P X + Y ≤ 1 = p 0 ,   0 + p 1 ,   0 + p ( 0 ,   1 )

= e 1 - μ 1 - μ 2 μ 1 0 ∙ μ 2 0 0 ! 0 ! + e 1 - μ 1 - μ 2 μ 1 1 ∙ μ 2 0 1 ! 0 ! + e 1 - μ 1 - μ 2 μ 1 0 ∙ μ 2 1 0 ! 1 !

P X + Y ≤ 1 = e - μ 1 - μ 2 ( 1 + μ 1 + μ 2 )

Passo 4

Seja m um número inteiro não negativo, temos:

P X + Y = m = ∑ k = 0 m P X = k ,   Y = m - k

= ∑ k = 0 m e 1 - μ 1 - μ 2 μ 1 k ∙ μ 2 m - k k ! m - k !

= e - μ 1 - μ 2 ∙ 1 m ! ∙ μ 1 + μ 2 m

Resposta

Resolução nos passos anteriores.

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